我正在寻找实现或清除算法，以便在python，伪代码或其他任何内容中获得 N 的素数因子分解 - 可读。有一些要求/事实：
我需要一个快速素数因子分解算法，不仅适用于自身，还适用于许多其他算法，例如计算Euler phi（n）。
我已经尝试过维基百科的其他算法，但要么我无法理解它们（ECM），要么我无法从算法（Pollard-Brent）创建一个有效的实现。
我对Pollard-Brent算法非常感兴趣，所以对它的任何更多信息/实现都会非常好。
谢谢！
修改
在搞砸了一下后，我创建了一个非常快速的素数/分解模块。它结合了优化的试验分割算法，Pollard-Brent算法，米勒 - 拉宾素性测试和我在互联网上找到的最快的素数。 gcd是一个有规律的Euclid的GCD实现（二进制Euclid的GCD比常规GCD慢很多）。
哦，快乐，可以获得赏金！但我怎么能赢呢？
最完整/最有建设性的答案得到了赏金。
最后是模块本身：
import random
def primesbelow(N):
# http://stackoverflow.com/questions/2068372/fastest-way-to-list-all-primes-below-n-in-python/3035188#3035188
#""" Input N>=6, Returns a list of primes, 2 <= p < N """
correction = N % 6 > 1
N = {0:N, 1:N-1, 2:N+4, 3:N+3, 4:N+2, 5:N+1}[N%6]
sieve = [True] * (N // 3)
sieve[0] = False
for i in range(int(N ** .5) // 3 + 1):
if sieve[i]:
k = (3 * i + 1) | 1
sieve[k*k // 3::2*k] = [False] * ((N//6 - (k*k)//6 - 1)//k + 1)
sieve[(k*k + 4*k - 2*k*(i%2)) // 3::2*k] = [False] * ((N // 6 - (k*k + 4*k - 2*k*(i%2))//6 - 1) // k + 1)
return [2, 3] + [(3 * i + 1) | 1 for i in range(1, N//3 - correction) if sieve[i]]
smallprimeset = set(primesbelow(100000))
_smallprimeset = 100000
def isprime(n, precision=7):
# http://en.wikipedia.org/wiki/Miller-Rabin_primality_test#Algorithm_and_running_time
if n < 1:
raise ValueError("Out of bounds, first argument must be > 0")
elif n <= 3:
return n >= 2
elif n % 2 == 0:
return False
elif n < _smallprimeset:
return n in smallprimeset
d = n - 1
s = 0
while d % 2 == 0:
d //= 2
s += 1
for repeat in range(precision):
a = random.randrange(2, n - 2)
x = pow(a, d, n)
if x == 1 or x == n - 1: continue
for r in range(s - 1):
x = pow(x, 2, n)
if x == 1: return False
if x == n - 1: break
else: return False
return True
# https://comeoncodeon.wordpress.com/2010/09/18/pollard-rho-brent-integer-factorization/
def pollard_brent(n):
if n % 2 == 0: return 2
if n % 3 == 0: return 3
y, c, m = random.randint(1, n-1), random.randint(1, n-1), random.randint(1, n-1)
g, r, q = 1, 1, 1
while g == 1:
x = y
for i in range(r):
y = (pow(y, 2, n) + c) % n
k = 0
while k < r and g==1:
ys = y
for i in range(min(m, r-k)):
y = (pow(y, 2, n) + c) % n
q = q * abs(x-y) % n
g = gcd(q, n)
k += m
r *= 2
if g == n:
while True:
ys = (pow(ys, 2, n) + c) % n
g = gcd(abs(x - ys), n)
if g > 1:
break
return g
smallprimes = primesbelow(1000) # might seem low, but 1000*1000 = 1000000, so this will fully factor every composite < 1000000
def primefactors(n, sort=False):
factors = []
for checker in smallprimes:
while n % checker == 0:
factors.append(checker)
n //= checker
if checker > n: break
if n < 2: return factors
while n > 1:
if isprime(n):
factors.append(n)
break
factor = pollard_brent(n) # trial division did not fully factor, switch to pollard-brent
factors.extend(primefactors(factor)) # recurse to factor the not necessarily prime factor returned by pollard-brent
n //= factor
if sort: factors.sort()
return factors
def factorization(n):
factors = {}
for p1 in primefactors(n):
try:
factors[p1] += 1
except KeyError:
factors[p1] = 1
return factors
totients = {}
def totient(n):
if n == 0: return 1
try: return totients[n]
except KeyError: pass
tot = 1
for p, exp in factorization(n).items():
tot *= (p - 1) * p ** (exp - 1)
totients[n] = tot
return tot
def gcd(a, b):
if a == b: return a
while b > 0: a, b = b, a % b
return a
def lcm(a, b):
return abs((a // gcd(a, b)) * b)
答案 0 :(得分：42)
如果您不想重新发明轮子，请使用图书馆sympy
pip install sympy
>>> from sympy.ntheory import factorint
>>> factorint(10**20+1)
{73: 1, 5964848081: 1, 1676321: 1, 137: 1}
你可以考虑一些非常大的数字：
>>> factorint(10**100+1)
{401: 1, 5964848081: 1, 1676321: 1, 1601: 1, 1201: 1, 137: 1, 73: 1, 129694419029057750551385771184564274499075700947656757821537291527196801: 1}
答案 1 :(得分：13)
用Python实现的Pollard-Brent：
https://comeoncodeon.wordpress.com/2010/09/18/pollard-rho-brent-integer-factorization/
答案 2 :(得分：13)
无需使用smallprimes计算primesbelow，请使用smallprimeset。
smallprimes = (2,) + tuple(n for n in xrange(3,1000,2) if n in smallprimeset)
将primefactors划分为两个函数来处理smallprimes，将其他函数划分为pollard_brent，这样可以节省几次迭代，因为所有小权限的权力都将从n中划分。
def primefactors(n, sort=False):
factors = []
limit = int(n ** .5) + 1
for checker in smallprimes:
print smallprimes[-1]
if checker > limit: break
while n % checker == 0:
factors.append(checker)
n //= checker
if n < 2: return factors
else :
factors.extend(bigfactors(n,sort))
return factors
def bigfactors(n, sort = False):
factors = []
while n > 1:
if isprime(n):
factors.append(n)
break
factor = pollard_brent(n)
factors.extend(bigfactors(factor,sort)) # recurse to factor the not necessarily prime factor returned by pollard-brent
n //= factor
if sort: factors.sort()
return factors
通过考虑Pomerance，Selfridge和Wagstaff以及Jaeschke的验证结果，您可以减少isprime中使用Miller-Rabin素性测试的重复次数。来自Wiki。
修改1 ：更正了if-else的回复，以便将重要因素附加到primefactors中的因素。
答案 3 :(得分：4)
即使在目前的情况下，仍有几个地方需要注意。
checker*checker使用s=ceil(sqrt(num))和checher < s divmod代替%和// 答案 4 :(得分：3)
你应该做一些你可以在这里看到的主要检测， Fast algorithm for finding prime numbers?
你应该阅读整个博客，但是他列出了一些用于测试素数的算法。
答案 5 :(得分：3)
有一个python库，其中包含一系列素性测试（包括不正确的测试）。它被称为pyprimes。为了后人的目的，它值得一提。我认为它不包括你提到的算法。
答案 6 :(得分：1)
你可以将因子分解到极限，然后使用布伦特来获得更高的因子
from fractions import gcd
from random import randint
def brent(N):
if N%2==0: return 2
y,c,m = randint(1, N-1),randint(1, N-1),randint(1, N-1)
g,r,q = 1,1,1
while g==1:
x = y
for i in range(r):
y = ((y*y)%N+c)%N
k = 0
while (k<r and g==1):
ys = y
for i in range(min(m,r-k)):
y = ((y*y)%N+c)%N
q = q*(abs(x-y))%N
g = gcd(q,N)
k = k + m
r = r*2
if g==N:
while True:
ys = ((ys*ys)%N+c)%N
g = gcd(abs(x-ys),N)
if g>1: break
return g
def factorize(n1):
if n1==0: return []
if n1==1: return [1]
n=n1
b=[]
p=0
mx=1000000
while n % 2 ==0 : b.append(2);n//=2
while n % 3 ==0 : b.append(3);n//=3
i=5
inc=2
while i <=mx:
while n % i ==0 : b.append(i); n//=i
i+=inc
inc=6-inc
while n>mx:
p1=n
while p1!=p:
p=p1
p1=brent(p)
b.append(p1);n//=p1
if n!=1:b.append(n)
return sorted(b)
from functools import reduce
#n= 2**1427 * 31 #
n= 67898771 * 492574361 * 10000223 *305175781* 722222227*880949 *908909
li=factorize(n)
print (li)
print (n - reduce(lambda x,y :x*y ,li))
答案 7 :(得分：0)
我在计算数字2**1427 * 31时遇到了此代码中的错误。
File "buckets.py", line 48, in prettyprime
factors = primefactors.primefactors(n, sort=True)
File "/private/tmp/primefactors.py", line 83, in primefactors
limit = int(n ** .5) + 1
OverflowError: long int too large to convert to float
此代码段：
limit = int(n ** .5) + 1
for checker in smallprimes:
if checker > limit: break
while n % checker == 0:
factors.append(checker)
n //= checker
limit = int(n ** .5) + 1
if checker > limit: break
应该改写成
for checker in smallprimes:
while n % checker == 0:
factors.append(checker)
n //= checker
if checker > n: break
无论如何都可能在实际输入上执行得更快。平方根很慢 - 基本上相当于很多次乘法 - smallprimes只有几十个成员，这样我们就可以从紧密内循环中删除n ** .5的计算，这在保理时非常有用像2**1427这样的数字。如果我们关心的只是＆＃34;那么[平方]是没有理由计算sqrt(2**1427)，sqrt(2**1426)，sqrt(2**1425)等等。检查员超过n＆＃34;。
重写代码在显示大数字时不会抛出异常，和大约是timeit的两倍（对于示例输入2和{ {1}}）。
另请注意，2**718 * 31会返回错误的结果，但只要我们不依赖它，这是可以的。恕我直言，你应该重写该功能的介绍
isprime(2)