图论：带矢量权重的最短路径

Question

我有一个强连通的有向图，边缘用向量加权，其中每个向量只有非负条目。我想找到一个循环，使得权重之和与对角矢量（[1,1,1，... 1]）之间的角度最小化。对于这类事情，有没有算法？

我相信Bellman-Ford型算法会给我一个相当不错的解决方案，但我不相信它会是最好的......。

Answer 1

由于弧可以多次使用，因此可以将此问题表述为quadratic program。如果实例不大，那么尝试维基百科链接到的解算器之一可能是值得的。

让可行的解决方案成为循环x，即简单循环的正线性组合。设A是表示从弧到矢量的线性映射的矩阵。用一个小代数证明了一个技巧：不是最小化Ax相对于全1矢量的角度，我们最小化Ax的长度受到Ax的点积和全部的约束的约束。矢量是1。

现在我们可以写下二次方案。

minimize y1^2 + ... + yn^2 (positive semidefinite objective)
subject to
Ax - y = 0
x is a circulation

最后一个约束分解为线性约束x >= 0，并且对于每个顶点，进入顶点的弧上的x值之和等于弧上x值的总和离开。

Answer 2

据我所知，贝尔曼 - 福特阿尔戈看起来，Dijkstra Shortest Path Algo也是如此。但它贪婪行为的速度更快。

编辑：Dijkstra仅适用于非负数条目。但这适合你的问题

Answer 3

考虑两个共享一个共同顶点的循环。完全有可能存在正整数p和q，使得第一个周期的向量的p倍加到q乘以第二个周期的向量恰好等于（1,1，...，1的倍数） ）。因此，除非你限制在简单的循环中，否则我认为没有一种快速的算法可以证明是最佳的。即使您限制为简单循环，也可以使循环的一部分等于向量x，并且循环的其余部分等于向量c（1,1，...，1） - x，并且您＆＃39 ; d除非你枚举所有周期并检查它们，否则可能无法知道这一点。因此，如果您想要一个最佳解决方案，我认为强力枚举周期可能是解决问题的唯一可行方法。