Question

我有一个带有N个veritces和M个边的加权无向图。每个边缘都有它的重量和颜色。整个图表中最多有10种不同的颜色。每当我通过不同颜色的边缘时，我必须支付额外费用等于K.给定两个顶点A和B，我想找到它们之间的最短路径。例如，给定具有3个顶点的多图，K = 5和3个边:( 1 - > 2的重量3和颜色1），（1 - > 2的重量5和颜色2），（2 - > 3个权重2和颜色2），最短路径的权重是12.我想设计一个能在相当长的时间内解决这个问题的算法（类似于O（N）或O（N log N）），但我除了暴力之外别无所求。

我仍在寻找解决方案。如果有人知道如何解决，请回复。

约束：

N <= 10 ^ 5

M <= 10 ^ 5

K <= 10 ^ 5

Answer 1

对于每个顶点，根据您到达它的颜色将其拆分为10个不同的顶点（每个副本的输出边缘相同）。请注意，即使原始图形是无向的，也会定向此新图形。

然后Dijkstra在这个新图中的算法给出了答案。

Answer 2

我说你可以修改Dijkstra's Algorithm来做到这一点。您只需为每个顶点存储一个额外的字段，以便传递最后一个颜色，这样当算法需要边长时，您可以在该边的颜色不等于最后传递的颜色时添加颜色税。然后你必须更新那个领域。这将在O（M + N log N）时间内完成。

编辑：使用伪代码：

 1 function Dijkstra(Graph, source):
 2     dist[source] ← 0
 3
 4     create vertex set Q
 5
 6     for each vertex v in Graph:           
 7         if v ≠ source
 8             dist[v] ← INFINITY
 9             prev[v] ← UNDEFINED
11         Q.add_with_priority(v, dist[v])
12
13     while Q is not empty:
14         u ← Q.extract_min()
15         for each neighbor v of u:
16             if color(prev[u], u) ≠ color(u, v)
17                 alt = dist[u] + length(u, v) + colorTax
18             else
19                 alt = dist[u] + length(u, v)
20             if alt < dist[v]
21                 dist[v] ← alt
22                 prev[v] ← u
23                 Q.decrease_priority(v, alt)
24
25     return dist[], prev[]

事实证明，通过使用prev-field，甚至不需要新的领域。

带有彩色边缘的加权图中的最短路径

2 个答案: