给出表达式的对数，给出变量的对数

Question

我必须以编程方式确定表达式的值：

 S = log(x1y1 + x2y2 + x3y3 ...) 

仅使用以下值：

lxi = log(xi)
lyi = log(yi)

计算每个 lx _i 和 ly _i 的反日志可能是不切实际的，不是期待......

有什么方法可以将此评估细分为简单求和？

修改

我在某处看到了一个C函数，它以简单的求和方式进行计算：

double log_add(double lx, double ly)
{
   double temp,diff,z;

   if (lx<ly) {
      temp = lx; lx = ly; ly = temp;
   }
   diff = ly-lx;
   z = exp(diff);
   return lx+log(1.0+z);
}

为每对值添加返回值，这似乎给出了正确的答案。但是我无法弄清楚它是如何以及为什么有效的！

Answer 1

直接的方法是执行两次取幂：

ln（x + y）= ln（e ^ln（x） + e ^ln（y））

log_add函数使用稍微不同的方法来获得与 one 相同的结果：

ln（x + y）= ln（（x + y）x / x）
= ln（（x + y）/ x）+ ln（x）
= ln（1 + y / x）+ ln（x）
= ln（1 + e ^{ln（y / x）}）+ ln（x）
= ln（1 + e ^{ln（y）-ln（x）}）+ ln（x）