在3D空间中通过角度θ将矢量旋转到另一个之后计算矢量

Question

单位矢量V和D位于3D空间上。他们有相同的起点。我想将矢量V朝向矢量D旋转，但仅限角度θ。

鉴于我们知道：

1. 向量V和D是单位向量。
2. 我们知道V（x，y，z）和D（x，y，z）。
3. 我们知道两个矢量V和D之间的角度Δφ。
4. 我们也知道角度θ，其中矢量V将旋转以接近矢量D.
5. 我们知道三个向量的起点“O”。

我们现在想要计算向量Z，它也是一个单位向量。 是否可以计算向量Z的坐标，上面给出了这些信息？

你有什么想法可以解决这个问题吗？

Answer 1

您需要做的是在V和D矢量的平面中定义第三个轴，使得V点在此方向上旋转90度。我将调用指向D'方向的单位向量。有了这个，你的Z矢量很简单：

Z = cos(theta)*V + sin(theta)*D_tick;

那么如何计算D'？这也很容易。首先使用叉积计算与V和D正交的矢量。称之为W：W = V×D。接下来，计算与W和V正交的矢量：D'= W×V =（V×D）×V。这指向正确的方向，但如果您的V和D是正交的，它将只是一个单位向量。因此归一化：D'= D'/ || D'||，其中|| D'||是矢量D'的大小。如果您有矢量数学包，可以通过

执行此操作

D_tick = ((V.cross(D)).cross(V)).normalize();

一个警告：如果|| D'||怎么办？是零？当且仅当您的Δφ是pi弧度（或180度）的倍数时才会发生这种情况。或者，它发生在V和D彼此平行或反平行时。在这个特殊情况下你的问题是不对的。你应该检查这个特例。

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<强>附录
对于三维空间中的矢量，我的（V×D）×V和来自暴群的D-V *（（D·V）/（V·V））是一个相同的。因为V是单位矢量，所以他的D-V *（（D·V）/（V·V））减小到D-V（D·V）。我的（V×D）×V等于矢量三重积标识（http://mathworld.wolfram.com/VectorTripleProduct.html）的D（V·V）-V（D·V），并且再次降低到DV（D·V）因为V是一个单位向量。

Answer 2

执行此操作的一种方法是找到与D垂直的V分量，将其缩放到等效长度，并使用sin()和{{1}进行矢量和}：

cos()

这是明确定义的，除非D_perp = D - V * ((D . V)/(V . V)) D_perp_scaled = D_perp * (|V|/|D_perp|) result = cos(theta) * V + sin(theta) * D_perp_scaled 与D平行，这将导致V并导致除法出现问题。这并不奇怪：在这种情况下，你的旋转平面是不明确的 - 你不清楚你应该旋转哪个方向！

在数学上，这种寻找垂直的方法等同于其他答案中提到的交叉乘积方法|D_perp| == 0，但也许有点简单，适用于任何向量空间，（例如，2-D和4-D向量，而不仅仅是3-D）。

Answer 3

向量 Q 由cross product V × D 给出。两个3D矢量的叉积始终垂直于叉积的两个参数。这将是旋转轴。在您的情况下， Q 将由以下人员提供：

Qx = VyDz - VzDy
Qy = VzDx - VxDz
Qz = VxDy - VyDx

请注意 V × D = - D × V ，因此可能存在符号问题。此外， Q 通常不是旋转所需的单位矢量，因此请务必将其除以其幅度并使用 Q '= Q / | 问 | （ Q ≠0），然后将其用作旋转轴。