查找数组内部间隔的算法

Question

我有一个包含n个区间[0,1]

的列表

每个间隔看起来像[a(i),b(i)] 0<=a(i)<b(i)<=1 , i = 1...n

我需要找到一个有效的算法来确定n个区间中的每个区间是否包含在其他区间内。

我尝试了很多选项，但我只能在O（n ^ 2）中找到一个

有什么建议吗？

Answer 1

提示：对列表进行排序。

Answer 2

假设只有一个[0,1]的间隔。如果它不在您的列表中，只是为了方便，添加它。

对端点进行排序。在两个端点相等的情况下，在相应的右端点上反向排序。因此[0.1,0.2]，[0.1,0.3]将被分类为0.1,0.1,0.2,0.3，其中前0.1与第二区间一致。同样，如果右端点相等。

每个端点都应该有一个对其间隔的引用，以便您可以找到给定端点的间隔。

扫描已排序的端点。像你一样，建一棵树。使用[0,1]作为根。节点可以是红色或绿色。他们从红色开始。所以根节点最初是红色的。

树的想法是，最终，如果一个区间包含另一个区间，它将是树中的祖先。如果两个区间不重叠或部分重叠，它们将位于不同的分支中，它们唯一的共同祖先将是根，或者包含它们的其他区间。

当遇到每个左端点时，通过向当前树节点添加其间隔的红色节点，将其添加到树中的暂定位置。因此，我们遇到的第一个端点导致在根下添加相应的间隔，并且它成为当前节点。因此，在遇到其右侧端点之前，树节点可能有多个节点连接到它。

当遇到右侧端点时，其节点变为绿色，因为我们已将其从一端完全覆盖到另一端。如果它有任何红色后代，则必须移动它们，因为，当刚刚变成绿色的节点包含它们的左端时，它不包含它们的右端。所以我们将它们全部移动到父节点（必须仍然是红色）。

我们继续这个过程，直到我们到达1.0端点。此时树已完成。所有节点都是绿色的。每个节点下的节点表示相应间隔包含的间隔。

Answer 3

1. 根据断开关系的起点对间隔进行排序，以便稍后显示早期端点
2. 以排序顺序观察，对于每个元素e，包含e的区间只能存在于其左侧。
3. 因此从左侧线性扫描到目前为止观察到的最大终点。在任何阶段，如果当前间隔的端点小于最大端点，我们发现一个间隔包含在其他间隔内。