in或Data Structures类我们正在学习如何解决1变量中的递归关系。不幸的是，有些事情似乎“出乎意料”。 例： 一些练习已经告诉你如何替换变量n：
计算T（n）n = 2 ^ k
T（n）= a，n =＆lt; 2
T（n）= 8T（n / 2）+ bn ^ 2（a和b> 0）
但是有些练习只给你T（n）而没有提供变量n的替换：
T（n）= 1 n =＆lt; 1
T（n）= 2T（n / 4）+ sqrt（n）
我使用迭代方法并得出正确的答案：sqrt（n）+（1/2）* sqrt（n）* Log（n）。 但当教授解释说她开始说：“设n = 4 ^ k”。这就是我所说的“突然出现”。使用这个事实，答案更容易获得。 但是学生应该怎么想出来呢？
这是另一个例子：
T（n）= 1 n =＆lt; 1
T（n）= 2T（（n-1）/ 2）+ n
在这里，我再次尝试使用迭代方法，但我无法得出明确的答案，它看起来更复杂。 经过3个迭代步骤，我到达了这个：
（1）T（n）= 4T（（n-2）/ 4）+ 2n - 1
（2）T（n）= 8T（（n-3）/ 8）+ 3n - 3
（3）T（n）= 16T（（n-4）/ 16）+ 4n - 6
我倾向于说T（i）= 2 ^ i * T（（n-i）/ 2 ^ i）+ i * n - ??? ，这最后一部分我无法弄清楚，也许我犯了一个错误。
然而，在她给出的答案中，她又用另一个替换开始：设n =（2 ^ k）-1。 WTF ??
背后的逻辑是什么？ 谢谢。
答案 0 :(得分：0)
在所有这些情况下，这些替换是合理的，因为它们将重现重写为S（k）= aS（k-1）+ f（k）的形式之一。这些重现通常比其他重现更容易解决，因为它们纯粹用S（k - 1）来定义S（k）。
让我们举一些例子来看看它是如何工作的。考虑一下这种情况：
T（n）= 1（如果n≤1）
T（n）= 2T（n / 4）+ sqrt（n）（否则）
这里，问题的大小在每次迭代时缩小了四倍。因此，如果输入是4的完美幂，则输入将从4 k 缩小到4 k-1 ，从4 k-1 < / sup>到4 k-2 等，直到递归到底为止。如果我们做这个替换并让S（k）= T（4 k ），那么我们得到帽子
S（0）= 1
S（k）= 2S（k-1）+ 2 k
现在这是一个递归关系，其中S（k）是用S（k - 1）定义的，这可以使重现更容易解决。
让我们来看看你原来的复发：
T（n）= a（对于n≤2）
T（n）= 8T（n / 2）+ bn 2
请注意，递归步骤将n除以2。如果n是2的完美幂，则递归步骤考虑n之前的2的幂。设S（k）= T（2 k ）给出
S（k）= a（对于k≤1）
S（k）= 8S（k-1）+ b2 2k
注意S（k）是如何用S（k-1）定义的，这是一个更容易解决的重复。两个权力的选择在这里是“自然的”，因为它使得递归步骤纯粹是关于S的先前值而不是S的任意小值。
现在，看看最后一次重复：
T（n）= 1（n≤1）
T（n）= 2T（（n-1）/ 2）+ n
我们想做一些替换k = f（n）使得T（f（n））= 2T（f（n）-1）+ n。问题是如何做到这一点。
通过一些试验和错误，我们得到设置f（n）= 2 n - 1适合账单，因为
（f（n） - 1）/ 2 =（（2 n - 1） - 1）/ 2 =（2 n - 2）/ 2 = 2 n-1 - 1 = f（n）-1
因此，让k = 2 n - 1并设置S（k）= T（2 n - 1），我们得到
S（n）= 1（如果n≤1）
S（n）= 2S（n - 1）+ 2 n - 1
希望这有帮助！