准确找到最小的特征值

Question

我想准确找到矩阵的最小（绝对值）非零特征值。我可以使用numpy但

使用浮点运算

• 有没有办法得到确切的答案？
• 您是否必须对此表示同情或有其他方式吗？

矩阵将是小的（比如小于20乘20）具有整数值。当我说出确切的答案时，我的意思与the answer of John Habert中的答案类似。

Answer 1

特征值是algebraic numbers，它是某个多项式的根。该多项式的程度将是矩阵维度。对于高达4阶的多项式，原则上你能够将这些数字写成嵌套的根，但除此之外，通常无法准确地表示特征值。即使在可能的情况下，你肯定不希望看到确切的值，这里是一个看似无辜的小矩阵的例子：

Answer 2

从你的帖子中不清楚矩阵是否是Hermitian。我不知道一般情况的方法。

但是！如果矩阵是Hermitian（对称正定），你可以避免计算所有的特征值，如果你只需要最小的（这将是正的）。您可以使用反向迭代。 http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_iteration

您可以使用mu = 0启动算法;然后使用瑞利商 http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient_iteration这通常会给你非常快速的收敛。该方法涉及线性方程组的解（或者，有点等效地，逆矩阵的计算），但如果再次，矩阵是Hermitian，您可以为它生成Cholesky分解，然后使用得到的三角矩阵解决这些问题。

在某些情况下，该方法会收敛到不正确的特征值（例如，在最小的特征值旁边）。

另外，一个有趣的观察结果是矩阵A的最大特征值等于该矩阵的范数（其元素的平方和的平方根）。 A的SMALLEST特征值等于1除以A的INVERSE的范数。因此，如果你的矩阵不是很大并且它的逆存在，你可以反转它，然后就这样做，并计算1 / norm （INV（A））。该值将是A的最小特征值。