路由到交叉矩阵收集最大总和

Question

所以当我翻阅一本书时，我偶然发现了一个有趣的问题。 你得到一个N * M矩阵，你必须从坐标（1,1）到（n，m）。

您可以使用三种类型的“操作”来与矩阵交叉。

'A'- You go from i,j to i+1,j

'B'- You go from i,j to i,j+1

'C'- You go from i,j to i+1,j+1

每次越过元素时，都会将其添加到“sum”中。你被要求：

1. 找出您可以收集的最大金额。
2. 在不使用/重新使用N * M矩阵的情况下重建路径。

我用动态编程解决了问题（1），但是（2）让我陷入了困境。这本书对第（2）点没有任何解释。想知道你们中是否有人遇到过类似的事情。

Answer 1

DP的一般经验法则：如果除了获得最佳值之外还需要重建最优解，请使用第二个数组。第二个数组的大小应与存储子问题的答案的大小完全相同。但是，在此数组中，不存储答案，而是存储导致最佳解决方案的子问题的一些标识。在您的情况下，标识将为A，B或C，以表明您所做的移动。

Answer 2

您可以仅使用子问题解决方案阵列（让我们称之为D）重建路径本身，而无需任何其他数组。只需使用以下规则从(n, m)向(1, 1)向后转：

• 如果D[i][j] == D[i - 1][j]，请将(i-1, j)添加到答案序列的开头
• 如果D[i][j] == D[i][j - 1]，请将(i, j - 1)添加到答案序列的开头
• 否则将（i - 1，j - 1）添加到答案序列的开头。

你可以很容易地证明（记住这一点 D[i][j] = M[i][j] + max(D[i - 1][j], D[i][j - 1], D[i - 1][j - 1])，
 其中M是初始矩阵），这将导致您（1,1），并且结果序列确实是最大总和路径。