Question

在NxN矩阵中查找最大和子矩形可以使用2-d kadane算法在O(n^3)时间内完成，如其他帖子所述。但是，如果矩阵是稀疏的，特别是O(n)非零条目，那么O(n^3)时间是否会被打败？

如果有帮助，对于我感兴趣的当前应用程序，只需要一个解决方案，该解决方案假定矩阵的每一行和每列中至多有一个非零值。但是，在我未来的应用程序中，这个假设可能不合适（只是稀疏性会持续），无论如何，我的数学直觉是可能存在简单利用稀疏性的良好解决方案，并且不会进一步利用矩阵的事实。对角线和置换矩阵的乘积。

Answer 1

是的，可以做得更好。

首先，让我们考虑允许我们

的数据结构

在O(logn)时间
在O(1)时间

实际上，如下所示的平衡二叉树可以完成这项工作。树结构可以描述为：

树的每个叶节点都代表数组的每个元素。
如果内部节点涵盖范围[a, b]，则其左子项涵盖范围[a, c]，其右子覆盖范围[c + 1, b]，其中c = floor((a + b) / 2))。

根节点涵盖范围[1, n]。

                      O
                    /   \
                  /       \
                /           \
              /               \
            /                   \
          O                       O
        /   \                   /   \
       /     \                 /     \
      /       \               /       \
    O           O           O           O
   / \         / \         / \         / \
 o     o     o     o     o     o     o     o
A[1]  A[2]  A[3]  A[4]  A[5]  A[6]  A[7]  A[8]

每个节点v附加4个字段（包括叶节点和内部节点）：

S[v]：v＆＃39; s范围内所有值的总和
M[v]：v＆＃39;范围内的最大子阵列总和
L[v]：从v＆＃39; s范围左侧开始的最大子数组的总和
R[v]：在v范围右侧结束的最大子数组的总和

根据以上定义，我们可能会发现以下更新规则：

对于任何叶节点v，S[v] = A[v]，M[v] = L[v] = R[v] = max{0, A[v]}
对于任何内部节点v及其子l和r，
- S[v] = S[l] + S[r]
- M[v] = max{M[l], M[r], R[l] + L[r]}
- L[v] = max{L[l], L[r] + S[l]}
- R[v] = max{R[r], R[l] + S[r]}

最后，我们可以实现开头提到的操作。

要更新A[i]，我们可能会在树中找到相应的叶节点，并使用上述规则更新其路径中的字段。
最大子阵列总和只是M[root]。

现在让我们讨论如何使用此数据结构查找最大矩形。如果我们将矩形的上行和下行固定为i和j行，则问题将变为1D最大子阵列求和问题，其中A[k] = sum{B[i..j, k]}。关键的见解是，对于固定的i，如果我们按升序枚举j，我们可以使用上述数据结构来维护底层的1D数组并快速找到答案。伪代码描述了这个想法：

result = 0
for i in (1, 2, ..., n)
    set all fields of the binary tree T to 0
    for j in (i, i + 1, ..., n)
        for any k where B[j, k] != 0
            T.update(k, A[k] + B[j, k])
        result = max{M[root], result}
return result

假设矩阵包含m个非零元素，此算法的时间复杂度为O(mn logn)。在您的情况m = O(n)中，时间复杂度为O(n^2 logn)且优于O(n^3)。

稀疏矩阵中的最大和子矩形

1 个答案: