For循环的大O是什么，迭代平方根时代？

Question

我正在尝试为此代码片段找到Big O：

for (j = 0; j < Math.pow(n,0.5); j++ ) {
 /* some constant operations */
}

由于循环运行√n次，我假设这个for循环是O（√n）。但是，我在网上读到√n= O（logn）。

这对于循环O（√n）还是O（logn）？

谢谢！

Answer 1

必须做出几个假设，但这个循环的时间复杂度似乎是O（√n）。假设是：

• 无论j的值如何，循环体都会以恒定时间执行。
• j未在循环体中修改
• n未在循环体中修改
• Math.pow(n,0.5)以恒定时间执行（可能是真的，但取决于特定的Java执行环境）

如注释所述，这也假设循环初始化为j = 0而不是j - 0。

请注意，如果重写它，循环会更有效：

double limit = Math.pow(n, 0.5);
for (j = 0; j < limit; j++ ) {
 /* some constant operations */
}

（仅当正文不更改n时，这是有效的重构。）

Answer 2

假设某个函数pow的{​​{1}}操作的开销为O(P(n))，则循环的全局开销为P。如果O(√n.P(n))调用已从循环中取出并仅执行一次，则费用将表示为pow。

如果是O(√n+P(n))，则会分别给出P(n)=1和O(√n)。

如果是O(√n)，则会提供 P(n)=log(n) 和O(√n.log(n))。

[总和的低阶项被另一个吸收。]

假设O(√n)在任意精度整数的上下文中都是有效的，其中整数P(n)=log(n)的表示至少需要n位。但这仅适用于O(log(n))的巨大价值。