Question

我想找到一个快速算法来评估如下表达式，其中 P 是素数。

A ^ B ^ C ^ D ^ E mod P

示例：

(9 ^ (3 ^ (15 ^ (3 ^ 15)))) mod 65537 = 16134

问题是中间结果可能会变得太大而无法处理。

Answer 1

基本上，对于给定的a^T mod m，a和一个非常庞大的术语m，问题会减少到计算T。但是，我们能够使用给定模数T mod n评估n比T快得多。所以我们问：“是否有整数n，这样a^(T mod n) mod m = a^T mod m？”

现在如果a和m是互质的，我们知道n = phi(m)根据Euler's theorem符合我们的条件：

  a^T                               (mod m)
= a^((T mod phi(m)) + k * phi(m))   (mod m)    (for some k)
= a^(T mod phi(m)) * a^(k * phi(m)) (mod m)
= a^(T mod phi(m)) * (a^phi(m))^k   (mod m)
= a^(T mod phi(m)) * 1^k            (mod m)
= a^(T mod phi(m))                  (mod m)

如果我们可以计算phi(m)（例如在O(m^(1/2))中很容易做到，或者如果我们知道m的素数分解），我们就会将问题简化为计算T mod phi(m) 1}}和一个简单的modular exponentiation。

如果a和m不是互质的，该怎么办？情况不像以前那么令人愉快，因为对于所有n，可能没有有效a^T mod m = a^(T mod n) mod m属性T。但是，我们可以证明a^k mod m的序列k = 0, 1, 2, ...在某个点之后进入一个循环，即存在x和C与x, C < m，这样所有a^y = a^(y + C)都是y >= x。

示例：对于a = 2, m = 12，我们得到序列2^0, 2^1, ... = 1, 2, 4, 8, 4, 8, ... (mod 12)。我们可以看到包含参数x = 2和C = 2的循环。

通过计算序列元素a^0, a^1, ...，我们可以通过暴力找到周期长度，直到我们找到两个带X < Y的索引a^X = a^Y。现在我们设置x = X和C = Y - X。这给了我们一个每次递归O(m)指数的算法。

如果我们想做得更好怎么办？感谢Math Exchange的Jyrki Lahtonen提供the essentials for the following algorithm！

让我们评估序列d_k = gcd(a^k, m)，直到我们找到x d_x = d_{x+1}。这将最多需要log(m)个GCD计算，因为x受m的素数因子分解中的最高指数限制。让C = phi(m / d_x)。所有a^{k + C} = a^k都We can now prove that k >= x，因此我们在O(m^(1/2))时间内找到了周期参数。

我们假设我们找到了x和C，现在想要计算a^T mod m。如果T < x，使用简单的模幂运算执行任务是微不足道的。否则，我们有T >= x，因此可以使用循环：

  a^T                                     (mod m)
= a^(x + ((T - x) mod C))                 (mod m)
= a^(x + (-x mod C) + (T mod C) + k*C)    (mod m)     (for some k)
= a^(x + (-x mod C) + k*C) * a^(T mod C)  (mod m)
= a^(x + (-x mod C)) * a^(T mod C)        (mod m)

同样，我们将问题简化为相同形式的子问题（“compute T mod C”）和两个简单的模幂运算。

由于模数在每次迭代中减少了至少1，因此对于此算法的运行时间，我们得到O(P^(1/2) * min (P, n))的非常弱的界限，其中n是堆栈的高度。在实践中，我们应该好多了，因为模量预计会呈指数下降。当然这个论点有点手持波动，也许一些更具数学倾向的人可以改进它。

有一些边缘情况需要考虑，实际上让您的生活更轻松：如果m = 1（在这种情况下结果为0）或a是倍数的倍数，您可以立即停止m（在这种情况下，结果也是0）。

编辑：可以证明x = C = phi(m)有效，因此作为快速而肮脏的解决方案，我们可以使用公式

a^T = a^(phi(m) + T mod phi(m))  (mod m)

代表T >= phi(m)甚至T >= log_2(m)。

如何评估一个模数的指数塔

1 个答案: