Question

我最近想到了以下问题，我很惊讶似乎没有人提出这个问题：

给定一个字符串，它存在多少个不同的排列，模？

我知道公式，其中是字符串的长度，是每个字符的计数（考虑大小为的字母表）。因此，字符串toffee会有个不同的排列。

但是当非常大时（例如），这不再有效，因为计算将超出 long long int的范围，使用BigIntegers会太慢。有没有办法在或时间计算这个？

如果我将中的阶乘预处理到，并且我的“字符串”以长度的数组形式出现，其中每个元素包含每个字母的数量，是否可以在或时间计算它？

感谢您对此有任何帮助：）

Answer 1

诀窍是要注意p = 10^9 + 7是素数。因此，我们可以使用乘法逆和Fermat's little theorem来将公式中的除法转换为乘法的乘法：

n! / (a1!*...*ak!) = 

n! * a1!^(p - 2) * ... * ak!^(p - 2) (mod p)

这将是您的公式mod p，没有分区和简单的实现（只需使用模块exponentiation by squaring）。

复杂性将为O(k log p + n)，因为我们有O(k)个乘法，并且对于每个乘法，O(log p)取幂，我们还必须计算n!和每个的阶乘计数。

这比取消分数中的因子更容易实现。

Answer 2

字符串的不同排列数总是整数，尽管是除法的结果。那是因为分母的因素基本上“淘汰”了分子的一些因素。所以你可以将除法作为后因子运算来消除，而是将你已经与分母因子相匹配的因子分解出来。

一旦你删除了除法，你只需要进行模乘，这很简单。

Answer 3

如果N不是巨大的（也就是说，它足够小，可以使用像Eratosthenes的Sieve那样筛选它），你可以用N!来计算text=[text stringByAppendingString:@" "];的素数因子分解。筛子的修改版本。

然后你可以使用素数因子分解来计算除法，取消除法两边存在的因子。

虽然这并没有考虑到你希望结果模数为素数（存在更好的解决方案）这一事实，但在一般情况下可能有用。

Answer 4

是..存在解决方案。您可以阅读有关模数乘法逆算法的信息。 This

由于答案是使用模数1000000007（也是素数），您可以尝试使用Fermat's little theorem来解决此问题。如果模数为 mod 复杂度为O（N + K * log（mod））。