Question

我需要执行以下操作许多次：

取两个整数a, b
计算a * b mod p，其中p = 1000000007和a, b与p的数量级相同

我的直觉是天真的

result = a * b
result %= p

效率低下。我可以优化乘法模p，就像使用p优化取幂模pow(a, b, p)一样吗？

Answer 1

您提到“a, b与p具有相同的数量级。”通常在加密中，这意味着a,b是p附近的大数字，但严格低于p。

如果是这种情况，那么您可以使用简单身份

$a-p \equiv a \pmod{p}$

将您的计算转换为

result = ((a-p)*(b-p))%p

然后你将一个大的乘法转换成两个大的减法和一个小的乘法。你必须分析一下，看哪个更快。

Answer 2

要在汇编中进行此计算，但是可以从Python调用它，我会从a尝试inline assembly Python module written in C。 GCC和MSVC summary 编译器具有内联汇编功能，只有不同的语法。

请注意，我们的模数p = 1000000007恰好适合30位。结果在某些弱点的情况下，可以在Intel 80x86寄存器中计算所需的(a*b)%p 对a,b的限制不比p大。

对a,b

大小的限制

（1）a,b是32位无符号整数

（2）a*b小于p << 32，即p次2 ^ 32

特别是如果a,b每个都小于2*p，则会避免溢出。给定（1），它们中的任何一个都小于p就足够了。

Intel 80x86指令MUL可以乘以两个32位无符号整数并将64位结果存储在累加器寄存器对EDX：EAX中。一些有用的第10.2.1节讨论了MUL的细节和怪癖 {{3}}

指令DIV然后可以将该64位结果除以32位常数（模数p），将商存储在EAX中，余数存储在EDX中。见最后一个链接的10.2.2节。我们想要的结果就是余数。

这种划分指令DIV应该存在溢出的风险分子EDX中的64位乘积：EAX给出的商大于32位不满足上述（2）。

我正在使用C / inline程序集中的代码片段来进行“概念验证”。然而，速度的最大好处将取决于批处理数组数据a,b来处理，分摊函数调用的开销等 Python（如果那是目标平台）。

Answer 3

这不能直接回答这个问题，但如果您正在寻找性能，我建议不要在纯Python中执行此操作。一些选择：

在C中创建一个用于计算的小型库，并使用Python的ctypes与之交谈。
使用numpy;如果您不想自己处理编译内容，可能是最好的选择。一次执行一个操作并不比Python自己的操作符快，但是如果你可以将多个操作放在一个numpy数组中，那么对它们的计算将比Python中的等价物快得多。
使用cython将变量声明为C整数;再次，和numpy一样，如果你批量生产，你将从中受益最多（因为那时你也可以优化循环）。

Answer 4

虽然这非常简单，但您可以尝试使用基于mod p构建产品列表，在1000000007步骤上节省一些时间（列表的大小取决于{的大小{1}}和a）。测试每个模数（从最高开始）。当然，这仅在b时有用。

Answer 5

如果您通过许多次澄清了您的意思，可能会有优化的线索，例如，如果您从高频循环中收集结果，循环可以提供优化常规的方法。

说未经优化的循环是：

p = 1000000007
b = 123456789
a = 0
while a < p:
    result = (a * b) % p
    dosomething(a, b, result)
    a += 1

你可以优化高频循环中的*和％：

p = 1000000007
b = 123456789
a = 0
result = (a * b) % p
while a < p:
    dosomething(a, b, result)
    a += 1
    result += b
    if result >= p:
        result -= p

优化乘法模数小素数

5 个答案: