检测具有偶数个顶点的图中是否存在完美匹配的最有效算法是什么？
答案 0 :(得分：0)
要更正我在下面所说的内容（请参阅1，以便对以下段落进行更深入的讨论）： 首先，Tutte矩阵是形式变量的矩阵，因此它的行列式是形式变量的多项式，而不是数字。由于T是一个形式矩阵，计算其行列式可能需要指数时间。但是，我们不需要真正计算det（T）只测试它是否与0多项式相同。这意味着对于T中变量的每个数值赋值，det（T）将产生0.可以进一步证明，如果不存在完美匹配，对于大多数变量赋值，det （T）将评估为非零变量。因此，我们可以用T中的变量替换随机值并计算行列式。如果我们评估为非零值，我们可以放心地说不存在匹配。否则，如果我们重复这个次数足够多次，我们就可以确信存在完美的匹配。
该算法仍受限于采用行列式的运行时。当前最有效的已知算法具有O（n ^ 2.373）的运行时间，在这种情况下为O（| V | ^ 2.373）。这是什么意思？
爱德蒙有O（| E | sqrt（| V |））。
对于某些类型的图形，特别是密集的图形，这实际上可以击败Edmond，渐近。但正如我所提到的，这仍然是一个随机算法，而不是一个确切的算法。
编辑评论：它的一个好处是它比Edmonds更容易包围实际工具。在C中实施Edmond是我本科生涯中最悲伤的夜晚之一。
原始错误的答案： 您可以使用Tutte矩阵找到完美匹配的存在：http://en.wikipedia.org/wiki/Tutte_matrix
如果A（t）是图G（V，E）的tutte矩阵，那么如果det（A）！= 0，则存在完美匹配。你可以在O（n ^ 3）中找到一个行列式通过高斯消除的操作，在这种情况下将是O（| V | sqrt（| V |））。如果O（| E |）＆gt;这是对Edmonds的O（| E | sqrt（| V |））运行时的改进。 O（| V |）。