切线从外部点。圈

Question

我想绘制一个圆的两条切线，其中心（x1，y1）和半径（r）是已知的，切线穿过外部点（x0，y0）。鉴于上述信息我怎样才能找到这两条线与圆的相切点。提前致谢

P.S。我需要在C ++中执行此操作

Answer 1

虽然我同意这个问题不在话题而应该关闭，但我会发布一个答案，因为它可能仍有帮助。

以下是我要做的事情：我会计算圆圈的polar line，您可以通过将matrix representation of the circle乘以该点的homogeneous coordinates得到，即（x0） ，y0,1）。结果向量（a，b，c）描述了一条线{（x，y）| ax + by + c = 0}，你可以将它与圆相交以找到你的相切点。

上述内容不仅适用于圆圈，也适用于任意流畅的conics。

Answer 2

在实践中计算切点的一些线索：

1. 将所有点移动到以零为中心的圆圈（P' = P0 - Center）
2. 缩放以制作单位半径圆（x^2+y^2=1, P = P'/R）

3. 来自坐标的半径矢量。原点到切点垂直于切线，因此它们的标量乘积为零：

   x*(X-x)+y*(Y-y)=0
   x*X + y*Y = x^2 +y^2 = 1    
   y = (1 - x*X)/Y
   

4. 用圆方程代替y，求解x的这个二次方程，然后求y

   x^2*(X^2+Y^2)+x*(-2X)+(1-Y^2)=0
   

5. 恢复原始比例和偏移

德尔福实施：

//finds tangent points to circle from external point (XX, YY)
//returns number of tangents (0, 1, 2)
function GetTangentPointsAtCircle(CenterX, CenterY, R, XX, YY: Double;
                                 var XT0, YT0, XT1, YT1: Double): Integer;
var
  nx, ny, xy, tx0, tx1, D: Double;
begin
  if R = 0 then //this behavior can be modified
    Exit(0);

  nx := (XX - CenterX) / R; //shift and scale
  ny := (YY - CenterY) / R;
  xy := nx * nx + ny * ny;

  if Math.SameValue(xy, 1.0) then begin //point lies at circumference, one tangent
    XT0 := XX;
    YT0 := YY;
    Exit(1);
  end;

  if xy < 1.0 then  //point lies inside the circle, no tangents
    Exit(0);

  //common case, two tangents
  Result := 2;
  D := ny * Sqrt(xy - 1);
  tx0 := (nx - D) / xy;
  tx1 := (nx + D) / xy;
  if ny <> 0 then begin //common case
    YT0 := CenterY + R * (1 - tx0 * nx) / ny;
    YT1 := CenterY + R * (1 - tx1 * nx) / ny;
  end else begin //point at the center horizontal, Y=0
    D := R * Sqrt(1 - tx0 * tx0);
    YT0 := CenterY + D;
    YT1 := CenterY - D;
  end;
  XT0 := CenterX + R * tx0; //restore scale and position
  XT1 := CenterX + R * tx1;
end;