Question

我使用Eigen库在C ++中实现了MCMC算法。该算法的主要部分是一个循环，其中首先进行一些矩阵计算，然后获得所得矩阵的行列式并将其加到输出中。 E.g：

MatrixXd delta0;
NumericVector out(3);

out[0] = 0;
out[1] = 0;

for (int i = 0; i < s; i++) {
  ...
  delta0 = V*(A.cast<double>()-(A+B).cast<double>()*theta.asDiagonal());
  ...
  I = delta0.determinant()
  out[1] += I;
  out[2] += std::sqrt(I);
}
return out;

现在在某些矩阵上，我不幸地观察到数字下溢，以便将行列式输出为零（实际上不是）。

如何避免此下溢？

一种解决方案是获得行列式的对数而不是行列式。然而，

我不知道该怎么做;
我怎么能把这些日志加起来？

非常感谢任何帮助。

Answer 1

我想到了两个主要选项：

方阵的特征值的乘积是该矩阵的行列式，因此每个特征值的对数之和是该矩阵的行列式的对数。假设det(A) = a和det(B) = b为紧凑表示法。在应用上述2个矩阵A和B之后，我们最终得到log(a)和log(b)，然后实际上是以下情况：
```
log(a + b) = log(a) + log(1 + e ^ (log(b) - log(a)))
```
是的，我们得到总和的对数。接下来你会用它做什么？我不知道，取决于你有什么。如果您必须按e ^ log(a + b) = a + b删除对数，那么您可能很幸运a + b的值现在不会下溢，但在某些情况下它仍然可以下溢。
进行聪明的预处理;这里可能有很多选项，你最好从一些可靠的来源读到它们，因为这是一个严肃的话题。对这个特定问题进行预处理的最简单（也许可能是最便宜）的例子可能是回忆det(c * A) = (c ^ n) * det(A)，其中A是n n矩阵，并且预乘您的矩阵包含一些c，计算行列式，然后将其除以c ^ n以获得实际值。

更新

我想了一个选择。如果在＃1或＃2的最后阶段你仍然经常出现下溢，那么专门为这些最后的操作增加精度可能是个好主意，例如，利用 GNU MPFR

Answer 2

您可以使用Householder消除来获取delta0的QR分解。那么Q部分的行列式是+/- 1（取决于你是做了偶数还是奇数次的反射），R部分的行列式是对角元素的乘积。这两个都很容易计算，而不会遇到下溢地狱---你可能甚至不关心第一个。

当在特征中获得大矩阵的行列式时，避免数值下溢

2 个答案:

更新