递归调用复杂性

Question

我有一些困难证明了这两个递归代码的复杂性。我对他们有一些直觉。我认为第一个是O（n），第二个是O（nlogn）。这些是代码：

def max_v1(lst):
    if len(lst)== 1:
        return lst[0]
    return max(lst[0], max_v1(lst[1:]))


def max_v2(lst):
    if len(lst)== 1:
        return lst[0]
    l = max_v2(lst[:len(lst)//2])
    r = max_v2(lst[len(lst)//2:])
    return max(l, r)

Answer 1

def max_v1(lst):
    if len(lst)== 1:
        return lst[0]
    return max(lst[0], max_v1(lst[1:]))

max(...)是O（2），每max_v1个函数调用调用一次，但每个函数调用的切片为O（N）。因此，我们得到O（2 * N * N）= O（N ² ）。

def max_v2(lst):
    if len(lst)== 1:
        return lst[0]
    l = max_v2(lst[:len(lst)//2])
    r = max_v2(lst[len(lst)//2:])
    return max(l, r)

每max_v2个函数调用调用

max_v2两次，每次传递list的一半，产生O（2 * N * log（N）），由于切片和函数调用。每个函数调用调用max()一次，因此总共给出N * O（2）= O（N）。因此，我们得到O（N + 2 * N * log（N））= O（N * log（N））。

Answer 2

这两个功能似乎是等效的。考虑abcd。第一个版本进行了3次比较：

a <-> max(bcd)
b <-> max(cd)
c <-> d

第二个也是如此：

max(ab) <-> max(cd)
a <-> b
c <-> d

因此，两个版本进行N-1比较，O(N)。