Kruskal算法的时间复杂度？

Question

我正在计算像这样的kruskal算法的时间复杂度（请参阅附加图像中的算法）

T(n) = O(1) + O(V) + O(E log E) + O(V log V)
     = O(E log E) + O(V log V)
as |E| >= |V| - 1
T(n) = E log E + E log E
     = E log E

CLRS算法：

这是正确的还是我做错了请告诉你。

Answer 1

Kruskal是O（E log E）;你的推导是对的。你也可以说O（E log V），因为E＆lt; = V * V，所以log（E）＆lt; = 2 log（V）（我不知道为什么我记得那个，除了我认为一个教授把它放在考试上......）

Answer 2

从| V |开始＆GT; | E | +1，我们更喜欢使用V术语而不是E术语的上限。

    |E| <= |V|²   
.   log |E| < log |V|²   
.   log |E| < 2 log |V| 
.   running time of MST-KRUSKAL is: O(E log V)

Answer 3

很抱歉迟到的回复 Kruskal算法的运行时间为O（E log E）而不是O（E log V）。

因为，必须首先对边进行排序，并且它需要O（E log E）来支配运行时，以验证所考虑的边是否是安全边缘，这将需要O（E log V）。并| E | ＆GT; | V |（（如果图形已经是树的情况下的极端情况）），因此可以安全地假设运行时为O（E log E）

Answer 4

第5到9行，复杂度为O（E）。

1. O（E）
2. O（1）
3. O（1）
4. O（1）
5. O（1）

直到第5行，你已经正确地计算了复杂性。最后，这里的支配因子是O（E lg E）。因此，复杂性是O（E lg E）

Answer 5

所有其他答案都是正确的，但是我们可以考虑以下情况，这给了我们 O（| E |）的时间复杂度。
以下答案来自Algorithms book by Dasgupta，第5章，第140页，节路径压缩：
在此算法的时间复杂度计算中，主要部分是边缘排序部分，该部分为 O（| E | log | E |）或所有其他答案都说明为O（| E | .log |。 V |）。

但是，如果给定的边被排序怎么办？
或者，如果权重较小（例如O（| E |）），则可以在线性时间内进行排序（例如应用counting sort）。
在这种情况下，数据结构部分将成为瓶颈（联合查找），考虑将其性能提高到每个操作的log n以上是很有用的。 解决方案是在执行find（）操作时使用path-compression方法。

实际摊销成本仅略高于O（1），而较早的O（log n）更低。有关更多详细信息，请检查this reference。 简要的想法是，每当调用find（v）操作以查找v所属集合的根时，所有节点到其父节点的链接都将更改，并指向该根。这样，如果您在同一路径上的每个节点x上调用find（x）操作，您将在O（1）中获得集合的根（标签）。因此，在这种情况下，算法瓶颈是联合查找操作，使用所描述的解决方案是O（1），在所描述的情况下该算法的运行时间是O（| E |）。

Answer 6

O（ElogE）肯定是O（ElogV），因为E <= V ^ 2（全连接图）

ElogE <= Elog（V ^ 2）= 2ElogV = O（ElogV）