三点法线向量

Question

嘿，数学极客，我有一个问题一直困扰我一段时间。这是个人项目。

我有三个点：红色，绿色和蓝色。它们位于纸板条上，红点位于左下方（0,0），蓝点位于右下方（1,0），绿点位于左上方。想象一下，退一步从一个角度拍摄卡片。如果你要找到图片中每个点的中心（假设单位是像素），你会如何找到图片中卡片面部的法线向量（相对于相机）？

现在我已经了解了一些关于这个问题的事情：

1. 点（在“现实生活中”）始终是直角。在图片中，如果相机沿着“轴”围绕红点旋转，它们只是一个直角（轴是由红色和蓝色或红色和绿色点创建的线）。
2. 卡片的一侧只有一些点。因此，你知道你永远不会看到它的背面。
3. 卡与相机的距离无关紧要。如果我知道每个点的深度，这将更容易（只是一个简单的交叉产品，没有？）。
4. 卡的旋转与我正在寻找的无关。在我试图弄清楚这一点的修修补补中，最后可以借助法线向量找到旋转。我不知道旋转是否是寻找法向量的一部分（或产生）。

希望有人在那里完成这个或者是数学天才。我有两个朋友在这里帮助我，我们 - 到目前为止 - 都没有成功。

Answer 1

Answer 2

从它的声音来看，你有三点 p ₁ ， p ₂ 和 p ₃ 定义一个平面，你想找到平面的法向量。

将点表示为来自原点的向量，equation for a normal vector将为
n =（ p ₂ - p ₁ ）x（ p ₃ - p ₁ ）
（其中x是两个向量的交叉积）

如果您希望向量从卡片的前面向外指向，则ala右手边的规则，设置
p ₁ =红色（左下角）点
p ₂ =蓝色（右下角）点
p ₃ =绿色（左上角）点

Answer 3

@ Ian Boyd ...我喜欢你的解释，只是当你说要解决 b _z 时，我才陷入第2步。您的答案中仍然有 b _z ，我认为您的 b _z 不应该在您的答案中回答...

b _z 应为+/-平方根 g _x ² + g < sub> y ² + g _z ² - b _x ² - b _y ²

我自己这样做之后，当你解决了g _z 时，我发现很难用 b _z 代替第一个等式，因为当用b _z 代替时，你现在得到：

  

g _z = - （g _x b _x + g _y b _y ）/ sqrt（g _x ² + g _y ² + g _z ² - b _x ² - b _y ² ）

使这个困难的部分是平方根中有 g _z ，所以你必须将它分开并组合 g _z 在一起，解决 g _z 我做过的，只是我不认为我解决它的方式是正确的，因为当我为自己编写了计算 g _z 的程序，我使用了 g _x 和 g _y 值以查看我的答案是否与您的答案相符，但事实并非如此。

所以我想知道你是否可以帮助我，因为我真的需要让它为我的一个项目工作。谢谢！

Answer 4

在这里思考我的脚。

你的有效输入是表观比率RB / RG [+]，视角BRG，以及（假设）RB与你的屏幕坐标y轴的角度（我错过了什么）。你需要标准化法线（heh！）向量的组成部分，我认为它只有两个独立的值（如果看到卡片，你会留下一个前后模糊度。）[++]

所以我猜这是可能的......

从这里开始，我假设RB的视角始终为0，我们可以稍后围绕z轴旋转最终解。

从平行于观察平面定位的卡开始，并以“自然”方式定向（即，您尊重上下左右对比分配）。我们可以通过围绕初始x轴（\theta）旋转-\pi/2 < \theta < \pi/2，然后围绕初始y轴旋转\phi来达到卡的所有有趣位置（对于{{ 1}}）。请注意，我们保留了RB矢量的明显方向。

下一步根据-\pi/2 < \phi < \pi/2和\theta计算表观比率和视角，并反转结果。[+++]

围绕\phi轴的原始旋转矩阵R_y(\phi)R_x(\theta)(0, 0, 1)，法线为R_i。

[+]绝对长度不计算，因为它只是告诉你到卡的距离。

[++]还有一个假设：从卡片到视图平面的距离远大于卡片的大小。

[+++]这里你从三维空间到观察平面使用的投影很重要。这是困难的部分，但不是我们可以为你做的事情，除非你说你正在使用什么投影。如果您使用的是真正的相机，那么这是一个透视投影，基本上涵盖在任何有关3D图形的书籍中。

Answer 5

正确，法线向量不会随距离而变化，但纸张在图片上的投影会随距离而变化（简单：如果你有一个小纸板，则没有任何变化。 如果你有1英里宽，1英里高的纸板，你旋转它使一侧更近，另一侧更远，近侧放大，远侧缩短。你可以立即看到一个矩形不是一个矩形，而是一个空格）

小角度和以中间为中心的相机最精确的方法是测量中间线上“正常”图像和角度图像之间的宽度/高度比（因为它们不会扭曲）。

我们将x定义为从左到右，y定义为从上到下，z从远到近定义。

然后
x = arcsin（measuredWidth / normWidth）红蓝色
y = arcsin（measuredHeight / normHeight）红绿色
z = sqrt（1.0-x ^ 2-y ^ 2）

我明天会计算出更精确的解决方案，但我现在太累了......

Answer 6

你可以使用u，v，n co-ornnates。将视点设置为“眼睛”或“相机”的位置，然后将x，y，z坐标转换为u，v，n。从那里你可以确定法线，如果你想要（u'，v'，n'）可以确定透视和可见表面。另外，请记住2D = 3D，z = 0。最后，确保使用同质的坐标。