Question

我正在使用图书馆HOL/Library/Polynomial.thy。

一个简单的财产不起作用。例如，2x *2的程度等于2x -

的程度

如何证明引理（即删除“抱歉”）：

lemma mylemma:
    fixes y ::  "('a::comm_ring_1 poly)" and x ::  "('a::comm_ring_1)"
    shows "1 = 1" (* dummy *)
 proof- 
 have "⋀ x. degree [: x :] = 0" by simp

 from this have "⋀ x y. degree (y * [: x :] ) = degree y" sorry

 (* different notation: *)
 from this have "⋀ x y. degree (y * (CONST pCons x 0)) = degree y" sorry

。

根据Manuel的回答，我一直在寻找解决方案：

 have 1: "⋀ x. degree [: x :] = 0" by simp
 {
   fix y :: "('a::comm_ring_1 poly)" and x :: "('a::comm_ring_1)"
   from 1 have "degree (y * [: x :]) ≤ degree y"
   by (metis Nat.add_0_right degree_mult_le)
 }

Answer 1

这里有很多问题。

首先，您尝试展示的声明并不适用于所有x。如果x = 0和y是非常数，例如y = [:0,1:]，你有

degree (y * [: x :]) = degree 0 = 0 ≠ 1 = degree y

解决这个问题的明显方法是假设x ≠ 0。

然而，这也不够，因为你只假设'a是一个可交换的环。但是，在一个可交换的环中，一般来说，你可以有零除数。考虑交换环ℤ/4ℤ。设x = 2和y = [:0,2:]。然后是y * [:x:] = [:0,4:]，4 = 0 ℤ/4ℤ。因此y * [:x:] = 0，因此，再次

degree (y * [: x :]) = degree 0 = 0 ≠ 1 = degree y

所以，你真正需要的是以下两种之一：

假设x ≠ 0和'a :: idom而不是'a :: comm_ring。 idom代表“积分域”，它只是一个带有1且没有零除数的可交换环
更一般地说，假设x不是零除数
更一般地说，假设x * y ≠ 0或等同于x乘以y的领先系数不是0

另外，在Isar样张中使用is有时会有些问题。 Isar的“正确”方式是：

fix x :: "'a::idom" and y :: "'a poly"
assume "x ≠ 0"
hence "degree (y * [:x:]) = degree y" by simp

相关的引理是degree_mult_eq和degree_smult_eq，您会看到它们需要系数类型为idom。这适用于我上面描述的第一种情况，另外两种情况需要更多的手动推理，我认为。

编辑：只是一个小提示：你可以通过输入

find_theorems "degree (_ * _)"

如果您尝试将其显示的degree_mult_eq应用于您的情况（使用comm_ring），您会发现它失败了，即使条款似乎匹配。如果是这种情况，通常是类型问题，因此您可以编写类似

from [[show_sorts]] degree_mult_eq

查看引理所需的类型和排序，并说idom。

伊莎贝尔：多项式的次数乘以常数

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