求解具有10次多项式的方程组，LSM

Question

我使用普通LSM（最小二乘法）求解方程组（多项式10度）的数值问题。我获得了具有巨大和非常小的值的参数 - 因此我不能在该方法中构造逆矩阵 - 即使在扩展变量中精度也是低的。我试过在C ++，Matlab，Delphi中做到这一点。 有人知道应用仪器，我可以用足够的准确性或数字提示做到这一点，确实取得了良好的效果。对矩阵的标准计算是不幸的难以捉摸。

Answer 1

我认为您的问题来自于使用10阶多项式这一事实，这通常会导致数值问题：

• 首先，由于大的振荡，它们可能不合适。即使在插入一个简单的函数时，也可能存在这些振荡，参见着名的Runge's example。
• 其次，高阶多项式的拟合可以导致山脉条件线性系统，这就是为什么你不能反转矩阵（你应该不做的事情）。我做了一个简单的实验：我取了11个等距点（在区间[0,1]上）并组装了线性系统的矩阵来求解。 Matlab给出了大约1e8的condition number，因此最小二乘矩阵的条件数为1e16。所以你的矩阵“接近于单数”，这意味着所有的数值精度都会丢失。

因此，摆脱问题的最佳方法是摆脱10阶多项式。您应该考虑低阶多项式，样条或分段多项式近似。

如果你真的需要10阶多项式（例如，如果你知道你的数据是由这样的多项式生成的），那么不要反转矩阵。使用良好的预处理器和迭代方法来解决系统而不反转矩阵。