最小化二分图中的交叉数

Question

在为不相关的内容绘制图表时，我遇到了以下算法问题：

我们有一个二分图的平面绘图，其中不相交的集合排列在列中，如图所示。我们如何重新排列每列中的节点，以便最小化边缘交叉的数量？我知道这个问题对于一般图形来说是NP难的（link），但考虑到图是二分的，是否有一些技巧？

作为后续行动，如果有第三列 w ，只有 v 的边缘怎么办？还是进一步？

Answer 1

论文On the one-sided crossing minimization in a bipartite graph with large degrees by Hiroshi Nagamochi  提到Garey和。的交叉号码的原始论文  约翰逊还证明了最小化边缘交叉的数量 二分图是NP难的。事实上，它仍然是NP难的  即使您被告知一列的最佳订单：

  

给出二分图，2层图包括放置节点   在第一个节点中，在直线L1上设置V并将节点放置在   第二节点在平行线L2上设置W.最小化的问题   首先是2层图纸中弧线之间的交叉数量   由Harary和Schwenk介绍。单边交叉最小化   问题要求找到V中节点的排序，以便放置在L1上   电弧交叉的数量最小化（而顺序为   给出并固定了L2上W中的节点。问题的应用   可以在VLSI布局和分层图纸中找到。

     

然而，双面和单侧问题显示为NP难   分别是Garey和Johnson以及Eades和Wormald。

Answer 2

Peter de Rivaz指出它是NP-Hard，但如果你对某些近似值很好，你可以选择以下解决方案。

我最初的想法是使用一些基于力的算法进行图形布局，但实现起来可能有点繁琐。但是，嘿，有这个精彩的节目graphviz.org，可以让整个工作为你服务。

安装完成后，只需用图表准备一个文件：

graph G{
   {rank=same A B C D E}
   {rank=same F G H K I J}

    A -- F;
    A -- G;
    A -- K;
    A -- I;
    A -- H;
    A -- J;

    B -- G;

    C -- G;
    C -- J;

    D -- K;
    D -- I;
}

运行：dot -Tpng yourgraph -o yourgraph.png

并为免费获取类似内容： - ）：