使用最少的步数将矩阵中的所有Xs更改为0

Question

我有一个问题，我必须将2D数组中的所有X更改为0 s，并且我必须计算最小步数（其中一步包括更改整个行或列）需要这样做。例如，在像

这样的数组中

[[X, X, X],
 [X, 0, 0],
 [X, 0, 0]]

此处所需的最小步骤数为2.

我想到了一种蛮力的方法（我在那里逐行检查并逐列检查，然后比较它们以检查哪个步骤最少）但这会给我一个3的答案，这不是期望的输出。

最佳解决方法是什么？

关于如何处理这个问题的任何帮助或线索，将不胜感激，谢谢！

Answer 1

提示1

考虑每行和每列都有顶点的图。

如果M [i，j]中矩阵中有X，则在顶点r_i和c_j之间存在边缘。

提示2

你的问题可以说是试图选择一组顶点（即选择行和列），这样每个边（即每个X）都会触及集合中的至少一个顶点。

这称为minimum vertex cover problem。

提示3

一般来说，顶点覆盖是NP完全的，但在这种情况下，图是二分的。

提示4

您可以使用max-flow算法求解二分最小顶点覆盖，以计算行和列之间的最大匹配。 （有关详细信息，请参阅Konig's theorem。）

解

在Python中：

import networkx as nx

M=[ [1,1,1],
    [1,0,0],
    [1,0,0] ]

G = nx.DiGraph()
for i,row in enumerate(M):
    for j,c in enumerate(row):
        if c:
            G.add_edge('row'+str(i),'col'+str(j), capacity=1.0)

for i in range(len(M)):
    G.add_edge('x','row'+str(i), capacity=1.0)

for j in range(len(M[0])):
    G.add_edge('col'+str(j), 'y', capacity=1.0)

print nx.max_flow(G, 'x', 'y')