Question

我正在使用以下函数来逼近函数的导数：

def prime_x(f, x, h):

    if not f(x+h) == f(x) and not h == 0.0: 
        return (f(x+h) - f(x)) / h
    else:
        raise PrecisionError

作为测试，我将f作为fx和x传递为3.0。 fx的位置：

def fx(x):

    import math
    return math.exp(x)*math.sin(x)

其中exp(x)*(sin(x)+cos(x))为衍生品。现在，根据谷歌和我的计算器

exp(3)*(sin(3)+cos(3)) = -17.050059。

到目前为止一切顺利。但是当我决定用h的小值测试函数时，我得到了以下结果：

print prime_x(fx, 3.0, 10**-5)
-17.0502585578
print prime_x(fx, 3.0, 10**-10)
-17.0500591423
 print prime_x(fx, 3.0, 10**-12)
-17.0512493014
print prime_x(fx, 3.0, 10**-13)
-17.0352620898
print prime_x(fx, 3.0, 10**-16)
__main__.PrecisionError: Mantissa is 16 digits

为什么当h减小（某个点之后）时误差会增加？我期待相反的情况，直到f(x+h)等于f(x)。

Answer 1

浮点运算（以及整数运算和定点运算）具有一定的粒度：值只能改变一定的步长。对于IEEE-754 64位二进制格式，该步长约为该值的2 ^-52倍（约2.22•10 ^-16）。这对于物理测量来说非常小。

然而，当你使 h 非常小时，f（ x ）和f（ x + h <之间的差异/ i>）与步长相比不是很大。差异只能是步长的整数倍。

当导数为 d 时，f（ x ）的变化约为 h • d 。即使您以浮点格式计算f（ x ）和f（ x + h ），测量值也是如此他们的差异必须是步长 s 的倍数，所以它必须是圆的（ h • d / s ）• s ，其中round（ y ） y 舍入为最接近的整数。显然，当你使 h 更小时， h • d / s 更小，因此将其四舍五入的效果到整数相对较大。

另一种看待这种情况的方法是，对于给定的f（ x ），计算f（ x ）周围的值时会有一定的误差。当你使 h 变小时，f（ x + h ） - f（ x ）会变小，但是错误保持不变。因此，错误相对于 h 增加。

Answer 2

当您减去两个几乎相同的数字时，结果的精度远低于任何一个输入。这降低了整体结果的精确度。

假设您有以下两个数字，优于15位小数：

  1.000000000000001
- 1.000000000000000
= 0.000000000000001

看看发生了什么？结果只有一个好数字。

浮点算术错误

2 个答案: