浮点算术中的舍入误差

Question

IEEE-754浮点运算中有几种舍入模式：

• 舍入到最接近：RN（x）是最接近x的浮点数。
• 向下舍入：RD（x）是小于或等于x的最大浮点数。
• 向上舍入：RD（x）是大于或等于x的最小浮点数。
• 向零舍入：RZ（x）是与x最接近的浮点数，其大小不大于x，

如果在使用向上舍入执行某些计算时获得较大的绝对舍入误差（接近理论界限），这是否意味着如果使用<执行相同的计算，则误差将很小em>向下舍入？

我想澄清一下我的问题：

假设我们需要使用带有浮点边界的区间运算来近似 x 的值，即计算数字 a 和 b 这样 a＆lt; = x＆lt; = b 。

例如， x = x1 + x2 + ... + xn ，其中 x1，x2，...，xn 是有限正浮点数。< / p>

1. 首先， a 计算为四舍五入： A = RD（X1 + X2 + ... + xn）映射
2. 然后，b计算四舍五入： B = RU（X1 + X2 + ... + xn）映射

接下来，假设我们知道

x - a＆lt; = EPS，

还有那个

b - x＆lt; = EPS，

其中 x 是确切的总和。

哪个上限对于[ a，b ]区间的长度有效： ba＆lt; = EPS 或 ba＆lt; = 2 EPS

Answer 1

是

假设确切的数学结果 x 落在两个有限的可表示值之间， a 和 b ， a ＆LT; B'/ em>的。错误的最小上限是 b - a 。将 e 作为舍入时的错误（因此 e b - x ），并让它成为几乎 b - a 。然后向下舍入时的错误是 b - a - e ，因此相对于 b - < EM>一

如果 a 且 b 不是有限的，那么：

• b 是+∞，向上舍入时的误差是无穷大，而向下舍入时的误差是有限的，因此相对较小，或
• a 是-∞，舍入时的错误是有限的，而舍入时的错误是无限的。

在最后一种情况下，在你定义的意义上，向上舍入时的误差不会很大，因为它必须是有限的，因此在这种情况下不能接近理论界限，即∞。因此，没有满足您的先决条件的结果存在于此区间内。