浮点运算的准确性

Question

我无法理解这个程序的输出

int main()
{
    double x = 1.8939201459282359e-308;
    double y = 4.9406564584124654e-324;
    printf("%23.16e\n", 1.6*y);
    printf("%23.16e\n", 1.7*y);
    printf("%23.16e\n", 1.8*y);
    printf("%23.16e\n", 1.9*y);
    printf("%23.16e\n", 2.0*y);
    printf("%23.16e\n", x + 1.6*y);
    printf("%23.16e\n", x + 1.7*y);
    printf("%23.16e\n", x + 1.8*y);
    printf("%23.16e\n", x + 1.9*y);
    printf("%23.16e\n", x + 2.0*y);
}

输出

9.8813129168249309e-324
9.8813129168249309e-324
9.8813129168249309e-324
9.8813129168249309e-324
9.8813129168249309e-324
1.8939201459282364e-308
1.8939201459282364e-308
1.8939201459282369e-308
1.8939201459282369e-308
1.8939201459282369e-308

我正在使用IEEE算法。变量y保存最小的IEEE编号。前五张照片显示的数字是我预期的两倍。令我困惑的是，接下来的五个版画显示不同的数字。如果1.6*y与2.0*y相同，那么x + 1.6*y如何与x + 2.0*y不同？

Answer 1

简而言之

您说您的编译器是Visual C ++ 2010 Express。 我无法访问此编译器，但据我所知，它生成的程序最初将x87 CPU配置为使用53位精度，以便尽可能地模拟IEEE 754双精度计算。

不幸的是，“尽可能接近”并不总是足够接近。为了模拟双精度，历史80位浮点寄存器的有效位置可以限制其宽度，但它们始终保留指数的整个范围。这种差异尤其表现在操纵非正规（例如你的y）。

会发生什么

我的解释是，在printf("%23.16e\n", 1.6*y);中，1.6*y被计算为80位递减有效数和全指数数（因此是正常数），然后转换为IEEE 754双 - 精度（导致非正规），然后打印。

另一方面，在printf("%23.16e\n", x + 1.6*y);中，x + 1.6*y计算所有80位递减有效数和全指数数（同样所有中间结果都是正数），然后转换为IEEE 754双 - 精确，然后打印。

这可以解释为什么1.6*y打印与2.0*y相同，但在添加到x时会产生不同的效果。打印的数字是双精度非正规。添加到x的数字是80位减少有效数和全指数正态数（不同）。

生成x87指令时其他编译器会发生什么

其他编译器（如GCC）不会将x87 FPU配置为操作53位有效数字。这可能会产生相同的结果（在这种情况下，x + 1.6*y将使用所有80位完整有效数和全指数数进行计算，然后转换为双精度以便打印或存储在内存中）。在这种情况下，问题更加频繁（你不需要涉及非正规数或无数数字来注意差异）。

David Monniaux的这个article包含了您可能需要的所有细节等等。

删除不需要的行为

要解决问题（如果您认为它是一个），找到告诉编译器生成浮点SSE2指令的标志。这些实现了单精度和双精度的IEEE 754语义。