Question

我在很多面试考试中都发现了这个问题，但是我自己也没有看到如何找到合适的解决方案。问题是：

由两个16位字表示的浮点数可表示多少位精度？

解决方案显然大约是6位数。

这是从哪里来的，你将如何解决这个问题？

Answer 1

非常简单：32位IEEE-754浮点数对于尾数有23 + 1位（AKA有效数，在IEEE中说）。尾数的大小或多或少决定了可表示数字的数量。

要获得有效位数，只需计算 log ₁₀（2 ²⁴），即约。 7.22 。（或者，如果你认为只有23位计数，因为最后一位是固定的，你得到 log ₁₀（2 ²³），大约 6.92 ）。因此，实际上，对于标准化值，您有大约6-7个有效数字。

对于64位浮点值（双精度）也可以这样做。它们有52（或53）位来存储尾数，因此计算 log ₁₀（2 ⁵²），即约。 15.6 （或53位的 15.9 ），它为您提供了大约15位有效数字。

Answer 2

IEEE-754浮点数具有符号位，指数的一些位数（e），以及尾数的一些数字（m），即指数乘以2的数字。结果数字的格式为

±m×2 ^e
例如，0b1.01×2 ^-0b0100 = 1.25×2 ^-4 = .078125

直接类似于（十进制）科学记数法中的实数，

±m×10 ^e
例如 7.8125×10 ^-2。

正如十进制中的有效位数与指数部分无关，二进制浮点也是如此，精度完全由尾数中的位数设置。尾数越长，数字的精确度就越高。对于32位浮点数，IEEE-754 standard将尾数中的位数设置为23位（+1加号+8表示指数）;对于64位浮点数，它是52位（+ 1，+ 11）。

科学记数法有另一种惯例;尾数必须在1（10 ⁰）和10（10 ¹）之间。通过使科学记数法中的表示形式独特，大大简化了比较 - 只有一种方法可以用科学记数法编写数字。即，200表示为2×10 ²，而不是20×10 ¹或0.2×10 ³。因此，人们可以非常快速地比较数字 - 任何数量的形式+ xyz×10 ²必然小于+ abc×10 ³形式之一。

类似地，在二进制中，尾数必须在1和2之间（2 ⁰ ... 2 ¹）。因此，尾数的第一位必须是1;因为知道它的值必须是什么，所以不需要明确存储它，因此你实际上有24位和53位的尾数。（对于非常小的数字 - denormalized numbers - 该位隐式为0，而不是1，但结果相同）。

因此，32位浮点数中的24位尾数可以从

开始

0b1.00000000000000000000001 ~ 1.00000012
     to
0b1.11111111111111111111111 ~ 1.99999988

也就是说，你可以得到或者低于1的最小增量是小数点后7位。另一种看待它的方法是考虑中间附近的数字并查看间距是什么：

0b1.01111111111111111111110 ~ 1.49999976
0b1.01111111111111111111111 ~ 1.49999988
0b1.10000000000000000000000 ~ 1.5
0b1.10000000000000000000001 ~ 1.50000012

所以你在小数点后七位得到大约1.2的间距 - 所以你得到的东西少于七个但超过六位数的精度。这个间距在数字的范围内有所不同;另外，一个很少只做一个浮点运算，并且由于舍入而导致的这些错误传播，因此人们通常会谈到6位数的精度。还应该注意的是，虽然精度仅取决于尾数的大小，但“转换”为十进制数字错误的方式在某种程度上也取决于指数;你可以通过取一些这些值并乘以2的幂来看到它。但六位精度是一个很好的经验法则。

wikipedia page很好地概述了浮点数，而综合参考是Goldberg的What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic。

二进制浮点数的十进制精度

2 个答案: