如何估计第n个元素的Fibonacci递归算法的时间？

Question

如何估算Nth Fibonacci元素的后续算法的完成时间？

private static double fib(double nth){

        if (nth <= 2) return 1;
        else return fib(nth - 1) + fib(nth - 2);
    }

Answer 1

此算法的精确时间复杂度为...... O(F(n))，其中F（N）为第n个Fibonacci数。为什么？请参阅下面的说明。

让我们通过归纳来证明这一点。显然它适用于基本情况（一切都是常数）。为什么它适用于F（N）？我们将算法复杂度函数表示为T（N）。然后是T(N) = T(N-2) + T(N-1)，因为你进行了2次递归调用 - 一次参数减少了1，一次减少了2.而这个时间复杂度恰好是斐波纳契数。

所以F(N)是您可以做出的最佳估算，但您也可以说O(2^n)或更精确地O(phi^n) phi = (1 + sqrt(5)) / 2 ~= 1.61。为什么？因为第n个斐波纳契数几乎等于phi ^ n。

此边界使您的算法非多项式，对于大于30周围的数字的数字非常慢。你应该考虑其他好的算法 - 这个问题有许多已知的对数算法。