Question

在今天的一次采访中，我得到了这个序列，这是一种经过修改的斐波那契：

1,1,2,4,6,13,19,42,61,135，......，

我被要求编写一个函数来返回 n 处的数字。

因此，如果n = 4，则函数应返回4，n = 6返回13等

我确信您已经注意到，不同之处在于，即使是与之前4项相等的项目，而奇数项也与之前的2项相同。

如果使用递归，这不是问题。这就是我所做的，但这不是我想要的方法。

Fibonacci计算就像这样（在PHP中）：

$n = 17;
$phi = (1 + sqrt(5)) / 2;
$u = (pow($phi, $n) - pow(1 - $phi, $n)) / sqrt(5);

$ u ，在这种情况下，是1597。

但是，我不知道如何使用像这样的Fibonacci序列的修改版本来解决它。

Answer 1

如果我理解正确，你想要有效地计算[即在O（log（n））]序列中定义为：

a[2n + 5] = a[2n + 4] + a[2n + 3] + a[2n + 2] + a[2n + 1]
a[2n + 2] = a[2n + 1] + a[2n]

让我们定义两个新序列。第一个对应于偶数位置的 a 值，第二个对应偶数位置的值：

b[n] = a[2n]
c[n] = a[2n + 1]

现在我们有：

c[n] = b[n] + c[n - 1] + b[n - 1] + c[n - 2]
b[n] = c[n - 1] + b[n - 1]

从我们得到的第一个等式（经过一些转换）中减去第二个等式：

b[n] = ( c[n] - c[n-1] ) /2

接下来将此公式替换为第一个等式，以获得 c 的公式：

c[n] = 2 c[n-1] + c[n-2]

请注意，此等式仅涉及 c 中的元素。因此，现在可以使用here描述的技术计算 c 的元素。通过稍微改变方程式，您将能够有效地计算 b 。

Answer 2

与由常系数线性递推定义的每个序列一样，斐波纳契数具有闭式解。

但是，我不知道如何为这个特定序列创建一个封闭的表单表达式。

我可以补充的是，您可以在没有递归的情况下解决Fibonacci或任何类似的序列，例如：

所以你可以使用循环而不是堆栈解决问题。