如何在未旋转的矩形内找到旋转矩形的尺寸，使区域最大化？

Question

我有一个W x H的矩形。

在该矩形内是另一个旋转Θ度的矩形，它始终在-45到45度之间，并且与外部矩形共享相同的中心。我需要找到w和h，以使内部矩形的面积最大化。

这是一个（贫民窟）图像来说明一点。虽然，矩形的角应该是触摸的，我假设？

这是我要写的函数的原型：

SizeD GetMaxRectangleSize(double outerWidth, double outerHeight, float angle)

SizeD只是一个宽度和高度为双精度的结构。

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感谢评论指引我朝着正确的方向前进！

我的解决方案，虽然可能不是数学上最优的，但假设如果内部矩形的所有四个角落在外部矩形上，则区域将最大化。

因此：

H = wSin(ϴ) + hCos(ϴ)

W = wCos(ϴ) + hSin(ϴ)

求解w和h并代入给出：

h = (HCos(ϴ) - WSin(ϴ))/(cos(ϴ)^2 - sin(ϴ)^2)

w = (WCos(ϴ) - HSin(ϴ))/(cos(ϴ)^2 - sin(ϴ)^2)

哪种情况适用于Θ= [0,45]，而（-45,0）应该起作用。

Answer 1

这个问题的棘手部分不是如何计算内部矩形的面积，而是所有可能的内部矩形中哪一个具有最大面积？

首先，观察图像中的方框是否是相同的区域，无论它是如何水平滑动的，如果它滑到最右边的墙上，它可以轻松地将问题参数化如下： / p>

我发现更容易想到这个问题，固定盒旋转偏移角度，使内部盒子以标准方向排列。这是一个数字（我已将theta更改为beta，因为我可以在Mac上轻松输入，并且由于明确的原因也离开了最左边的墙：

所以想想这个构造如下：在外部矩形的右侧选择一个点（这里用一个小圆圈显示），注意从这一点到角落的距离a，构造最大的可能的内部有一个角落（通过将垂直和水平线延伸到外部矩形）。显然，最大可能的矩形是从a的不同值派生的矩形之一，而a是此问题的一个很好的参数。

因此，内部矩形的区域是：

A = (a * (H-a))/(cosß * sinß)

or, A = c * a * (H-a)

我把恒定的三角项折叠成常数c。我们需要最大化这个，并且要做到这一点，衍生物是有用的：

dA/da = c * (H - 2a)

也就是说，从a=0开始（即图中的圆圈位于外部矩形的下角，形成一个高大的超级皮肤内部矩形），然后是内部矩形的区域< strong>单调增加直到a=H/2 ，然后该区域再次开始减少。

也就是说，有两种情况：

1）如果当a从0增加到H/2时，远处的内部角落到外部的相对墙壁，那么最大可能的矩形就是这种接触发生时（你知道它是由于单调增加而产生的最大值 - 即衍生物的正值。这是你对解决方案的猜测。

2）如果远角从不接触墙，那么最大的内部矩形将位于a=H/2。

我没有明确地解决每个案例的内部矩形区域，因为这比证明要容易得多，任何能够遵循证明的人，我认为可以轻松计算出区域（并且花很长时间写这些东西）。