Question

描述一个O（n log n）时间算法，给定 n 整数的 S 和另一个整数 x ，确定是否在 S 中存在两个元素，其总和正好是x。

我正计划使用二进制搜索。

ALGORITHM(S,x)
S=Insertion-Sort()
for i=1 to S.length
   n=x-S[i]
   if( Binary-Search(S,n) == true)
      return { S[i],n }


Binary-Search(A, v)
low=1
high=A.length

while low ≤ high
   mid=(low+high)/2

   if v = A[mid]
     return mid
   if v > A[mid]  
      low ← mid+1
   else
      high ← mid−1
 return NIL

如何找到此算法的时间复杂度？如果 T（n）不是（n log n），那么正确的算法是什么？

Answer 1

算法的整体顺序由各个部分的最高顺序决定。您开始使用worst-case performance is O(n^2)插入排序，因此您已经失败了。

如果您要使用O（n log n）版本替换排序算法，那么您必须查看剩下的内容。您有一个长度 n 的循环，其中一个主体调用二进制搜索。正确编码的二进制搜索是O（log n），因此结果应为O（n log n）。添加两个O（n log n）进程仍然会留下O（n log n）。

有另一种更快的方法来完成第二步，但我会留下让你去发现。它不会影响整体结果。

Answer 2

正如其他答案所指出的那样，你可以先使用O（n log n）排序，然后在每个元素的O（log n）时间内搜索每个元素的补码，从而加起来为O（ n log n）整体。

但是，我认为您还可以执行以下操作来获得O（n）算法。

观察如果两个数之和为x，则其中一个必须是> = x / 2，而另一个<= x / 2。因此，通过枢轴x / 2将阵列分成两部分，一个更大，一个更小。这需要O（n）时间。如果有多个元素的值为x / 2，那么就完成了。

现在为较低数组中的所有元素x-i构建一个i哈希表。这需要再花费O（n）时间。

现在，在每次查找的恒定时间内，在哈希表中搜索高数组中的每个元素。因此，这也是O（n）。

因此，整体复杂性，O（n）。

Answer 3

对于每个元素i：

如果哈希表中有x-i，我们就会得到总和（i和x-i）
将i插入哈希表。

总运行时间 - O(n)。

如何设计时间复杂度为O（n log n）的搜索算法？

3 个答案: