π的莱布尼兹公式 - 这有什么用的吗？ （蟒蛇）

Question

我正在做一个练习，要求使用Leibniz公式近似pi的值。这些是对维基百科的解释：

逻辑思维很容易找到我，但我没有接受过很多关于数学的正规教育，所以我对第二个最左边的符号代表什么感到遗憾。我尝试编写代码pi = ( (-1)**n / (2*n + 1) ) * 4，但是返回1.9999990000005e-06而不是3.14159 ...，所以我使用了累加器模式（因为指南的章节也提到了它们）它工作得很好。然而，我不禁想到它有点做作，而且可能有更好的方法，因为Python专注于简单性并使程序尽可能短。这是完整的代码：

def myPi(n):
    denominator = 1
    addto = 1

    for i in range(n):
        denominator = denominator + 2
        addto = addto - (1/denominator)
        denominator = denominator + 2
        addto = addto + (1/denominator)

    pi = addto * 4

    return(pi)

print(myPi(1000000))

有谁知道更好的功能？

Answer 1

Leibniz公式直接转换为Python，没有任何麻烦或烦恼：

>>> steps = 1000000
>>> sum((-1.0)**n / (2.0*n+1.0) for n in reversed(range(steps))) * 4
3.1415916535897934

Answer 2

使用纯Python，您可以执行以下操作：

def term(n):
    return ( (-1.)**n / (2.*n + 1.) )*4.

def pi(nterms):
    return sum(map(term,range(nterms)))

然后使用达到给定精度所需的术语数计算pi：

pi(100)
# 3.13159290356

pi(1000)
# 3.14059265384

Answer 3

这里的首都西格玛是sigma notation。它用于表示简洁形式的总和。

所以你的总和实际上是无限的总和。对于n = 0，第一项是：

(-1)**0/(2*0+1)

这已添加到

(-1)**1/(2*1+1)

然后到

(-1)**2/(2*2+1)

等等永远。总和是数学上已知的收敛和。

在Python中你会这样写：

def estimate_pi(terms):
    result = 0.0
    for n in range(terms):
        result += (-1.0)**n/(2.0*n+1.0)
    return 4*result

如果您想稍微优化一下，可以避免取幂。

def estimate_pi(terms):
    result = 0.0
    sign = 1.0
    for n in range(terms):
        result += sign/(2.0*n+1.0)
        sign = -sign
    return 4*result

....

>>> estimate_pi(100)
3.1315929035585537
>>> estimate_pi(1000)
3.140592653839794

Answer 4

这是我的方法：

def estPi(terms):
    outPut = 0.0
    for i in range (1, (2 * terms), 4):
        outPut = (outPut + (1/i) - (1/(i+2)))
    return 4 * outPut

我输入用户想要的术语数，然后在for循环中将其加倍以仅考虑赔率。

at 100 terms I get        3.1315929035585537
at 1000 terms I get       3.140592653839794
at 10000 terms I get      3.1414926535900345
at 100000 terms I get     3.1415826535897198
at 1000000 terms I get    3.1415916535897743
at 10000000 terms I get   3.1415925535897915
at 100000000 terms I get  3.141592643589326
at 1000000000 terms I get 3.1415926525880504
Actual Pi is              3.1415926535897932

喜欢上收敛的系列。

Answer 5

def myPi(iters):
    pi = 0
    sign = 1
    denominator = 1

    for i in range(iters):
        pi = pi + (sign/denominator)
        # alternating between negative and positive
        sign = sign * -1
        denominator = denominator + 2

    pi = pi * 4.0
    return pi

pi_approx = myPi(10000)
print(pi_approx)

Answer 6

旧线程，但是我想解决这个问题，巧合的是，我想出了和user3220980差不多的东西

# gregory-leibnitz
# pi acurate to 8 dp in around 80 sec
# pi to 5 dp in .06 seconds
import time
start_time = time.time()

pi = 4 # start at 4
times = 100000000

for i in range(3,times,4):
        pi -= (4/i) + (4/(i + 2))
    
print(pi)
print("{} seconds".format(time.time() - start_time))

Answer 7

以下版本使用了this SO post中概述的Ramanujan公式 - 它使用了pi和＆＃34;怪物组＆＃34;之间的关系，如this article中所述

import math

def Pi(x):
    Pi = 0
    Add = 0
    for i in range(x):
        Add =(math.factorial(4*i) * (1103 + 26390*i))/(((math.factorial(i))**4)*(396**(4*i)))
        Pi = Pi + (((math.sqrt(8))/(9801))*Add)
    Pi = 1/Pi
    print(Pi)

Pi(100)