Question

我被要求将Leibniz公式的总和打印到系列的第n项，正确到15位小数。在微积分中，π的Leibniz公式由下式给出： 1 - 1/3 + 1/5 -1/7 + ... =π/ 4

这是我的代码

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
    int n,i;
    long double s=0;
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++){
        s+=(long double)pow(-1,i)/(2*i+1);
    }
    printf("%Lf\n",s);
    return 0;
}

有谁能告诉我为什么我无法达到小数点后15位的精度？我的目的不是打印pi / 4的值，我只需打印给定n的总和

Answer 1

问：为什么......精度达到小数点后15位？答：要小数点后使用格式"%0.15f" 显示 15位小数。要计算15个小数的收敛点，n至少需要非常大。

如@ user3386109所述，“结果中的错误以1 /（2n + 1）为界”，因此需要大约5e14次迭代。（粗略估计：我的PC上有10天。）由于典型的double精度约为1分（动力学）（2,53分）或1分（9分15分），因此达到了double计算的极限。下面的代码比较了计算顺序以减少错误，但最好，错误在9e15中仍然至少为0.5个部分。

当系列的项振荡极限时，在n次迭代后停止时，可以添加下一次迭代的1/2的最终迭代。这将获得大约1位的准确度。

正如其他人所提到的，存在其他方法来计算收敛更快的π。

根据@ user3386109的良好观察结果更新。

在对术语进行总结时，代码可以按各种顺序对它们求和。下面的两个方法说明，在首先将小项汇总在一起时，可以更早地实现适度更稳定的结果。我希望最好只有1或2位更好的答案。

这是使用float重新完成的，因为在最后几位稳定之前，小改进不会出现。使用double和这个缓慢收敛的系列，这将花费太长时间。

//Leibniz formula for pi/4
typedef float fp;

fp LeibnizForward(unsigned n) {
  volatile fp sum = 0.0;
  fp sign = 1.0;
  unsigned i = 1;
  while (n-- > 0) {
    sum += sign / i;
    sign = -sign;
    i = (i + 2);
  }
  return sum;
}

fp LeibnizReverse(unsigned n) {
  volatile fp sum = 0.0;
  fp sign = 1.0;
  unsigned i = 2 * n - 1;
  if (n % 2 == 0)
    sign = -sign;
  while (n-- > 0) {
    sum += sign / i;
    sign = -sign;
    i = (i - 2);
  }
  return sum;
}

void PiTest(unsigned n) {
  printf("%u\n", n);
  static const fp pic = 3.1415926535897932384626433832795;
  const char *format = "%s %0.9f\n";
  printf(format, "pi-", nextafterf(pic,0));
  printf(format, "pi ", pic);
  printf(format, "pi+", nextafterf(pic,4));
  fp pif = LeibnizForward(n) * 4;
  printf(format, "pif", pif);
  fflush(stdout);
  fp pir = LeibnizReverse(n) * 4;
  printf(format, "pir", pir);
  fflush(stdout);
}

int main(void) {
  PiTest(0);
  PiTest(1);
  PiTest(10);
  PiTest(100);
  PiTest(1000);
  PiTest(10000);
  PiTest(100000);
  PiTest(1000000);
  PiTest(10000000);
  PiTest(100000000);

  return 0;
}

0
pi- 3.141592503
pi  3.141592741
pi+ 3.141592979
pif 0.000000000
pir 0.000000000
1
pi- 3.141592503
pi  3.141592741
pi+ 3.141592979
pif 4.000000000
pir 4.000000000
10
pi- 3.141592503
pi  3.141592741
pi+ 3.141592979
pif 3.041839600
pir 3.041839600
25
pi- 3.141592503
pi  3.141592741
pi+ 3.141592979
pif 3.181576490
pir 3.181576729
100
pi- 3.141592503
pi  3.141592741
pi+ 3.141592979
pif 3.131592512
pir 3.131592751
1000
pi- 3.14 1592503
pi  3.14 1592741
pi+ 3.14 1592979
pif 3.14 0592575
pir 3.14 0592575
10000
pi- 3.141 592503
pi  3.141 592741
pi+ 3.141 592979
pif 3.141 498566
pir 3.141 492605
100000
pi- 3.1415 92503
pi  3.1415 92741
pi+ 3.1415 92979
pif 3.1415 85827
pir 3.1415 82489
1000000
pi- 3.14159 2503
pi  3.14159 2741
pi+ 3.14159 2979
pif 3.14159 5364
pir 3.14159 1549
10000000
pi- 3.14159 2503 previous float
pi  3.14159 2741 machine float pi
pi+ 3.14159 2979 next float
pif 3.14159 6794
pir 3.14159 2503
100000000 Additional iterations do not improve the result.
pi- 3.14159 2503
pi  3.14159 2741 
pi+ 3.14159 2979
pif 3.14159 6794
pir 3.14159 2503
1000000000
pi- 3.14159 2503
pi  3.14159 2741
pi+ 3.14159 2979
pif 3.14159 6794
pir 3.14159 2503

Answer 2

更改printf语句以打印小数点后的更多值。

例如，使用

printf("%30.28Lf\n",s);

将数字打印到小数点后的28位。使用n=25，我得到了以下输出。

0.7953941713587578038252220991

莱布尼兹公式为π/ 4

2 个答案: