Question

我写了一些代码，用Leibniz formula for determinants计算给定nxn矩阵的行列式。

我试图弄清楚O符号的复杂性。我认为应该是这样的： O(n!) * O(n^2) + O(n) = O(n!*n^2)或O((n+2)!) 推理：我认为O(n!)是排列的复杂性。和O(n) perm_parity的复杂性，O(n^2)是每次迭代n个项的乘法。

这是我的代码：

def determinant_leibnitz(self):
    assert self.dim()[0] == self.dim()[1] # O(1)
    dim = self.dim()[0] # O(1)
    det,mul = 0,1 # O(1)
    for perm in permutations([num for num in range(dim)]):
        for i in range(dim):
            mul *= self[i,perm[i]] # O(1)
        det += perm_parity(perm)*mul # O(n) ?
        mul = 1 # O(1)
    return det

我编写的以下函数也用于计算：

perm_parity：给定数字0..n的排列顺序作为列表，返回其奇偶校验（或符号）：偶校验+1; -1表示奇数。

我认为perm_parity应该在O(n^2)运行（这是正确的吗？）。

def perm_parity(lst):
    parity = 1
    lst = lst[:]
    for i in range(0,len(lst) - 1):
        if lst[i] != i:
            parity *= -1
            mn = argmin(lst[i:]) + i
            lst[i],lst[mn] = lst[mn],lst[i]
    return parity

argmin：返回列表中最小参数的索引。我认为argmin应该在O(n)运行（这是正确的吗？）

def argmin(lst):
    return lst.index(min(lst))

和permutation：返回给定列表的所有排列。例如：输入：[1,2,3]，输出[[1,2,3]，[1,3,2]，[2,1,3]，[2,3,1]，[3,1] ，2]，[3,2,1]]。

我认为排列应该在O(n!)运行（这是正确的吗？）

def permutations(lst):
    if len(lst) <= 1:
        return [lst]
    templst = []
    for i in range(len(lst)):
        part = lst[:i] + lst[i+1:]
        for j in permutations(part):
            templst.append(lst[i:i+1] + j)
    return templst

Answer 1

这是一个老问题，但仍值得回答。

您正在寻找的复杂性是 O((n+2)!) 这是因为 O(n!) 是这个的复杂性：
for perm in permutations([num for num in range(dim)])
O(n) perm_parity函数的复杂性 O(n^2) 是每次迭代中乘以n项的复杂性。
这一切都给出了 O(n!)*O(n)*O(n^2)=O(n!n^2)=O((n+2)!)

（正如评论所述，在您的情况下，您甚至还可以 ϴ((n+2)!) ）

莱布尼兹行列式公式的复杂性

1 个答案: