Question

我很难解决这个问题。

A[1..n] is an array of real numbers which is partially sorted:
There are some p,q  (1 <= p <= q <=n) so:
A[1] <= ... <= A[p]
A[p] >= ... >= A[q]
A[q] <= ... <= A[n]

How can we find a value in this array in O(lgn)?
(You can assume that the value exists in the array)

Answer 1

进行3次二分查找：从1到p，p到q，q到n。复杂性仍然是O（logn）。

因为我们不知道p和q：

您无法在登录时解决此问题。假设您有一个正数的排序列表，其中一个零混合（p + 1 = q和A [q] = 0）。这种情况符合您提到的所有标准。现在，找到零所在位置的问题不能在子O（n）时间内解决。因此，在O（logn）时间内无法解决您的问题。

Answer 2

尽管已经指出了“隐藏零”的最坏情况，我仍然建议实施一种通常可以加快速度的算法，具体取决于p，q。例如，假设您有n个数字，并且每个增加和减少的区域的大小至少为k。然后，如果检查数组中的2 ^ m个元素，包括第一个和最后一个元素，其余元素尽可能等间距，从m = 2开始，然后迭代地将m增加1，最终你将达到m从你检查过的2 ^ m个元素中，从左到右找到3对连续元素（A，B），（C，D），（E，F），它们满足A＆lt; B，C> D，E＆lt; F（一些对可能共享元素）。如果我的背包计算是正确的，那么你需要实现这一点的最坏情况是你要检查不超过4n / k个元素，所以例如如果k = 100，则比检查所有n个元素要快得多。然后你知道A之前的所有事情，F之后的所有事情都在增加序列，你可以通过二进制搜索它们。现在，如果m足够大，你至少检查了sqrt（n）元素，那么你可以通过在A和F之间进行强力搜索来完成，整个运行时间将为O（n / k + sqrt（n）））。另一方面，如果最终m检查的元素少于sqrt（n），则可以进一步增加m，直到检查了sqrt（n）元素。然后将有2对连续的检查元素（A，B），（C，D）满足A＆lt; B，C> D，并且在阵列中稍后还将有2对连续的检查元素（W，X），（Y，Z）满足W＆gt; X，Y < Z.然后A之前的一切都在增加，D和W之间的一切都在减少，而Z之后的一切都在增加。因此，您可以二进制搜索阵列中的这3个区域。您尚未完全搜索的数组的剩余部分的大小为O（sqrt（n）），因此您可以使用强制搜索未选中区域，并且总运行时间为O（sqrt（n））。因此，边界O（n / k + sqrt（n））通常成立。我觉得这是最坏情况下的最佳情况，但我没有证据。

Answer 3

它可以在O（log ² n）中解决。

如果在中点处斜率下降，我们就在p..q范围内。
如果在中点处斜率增加，我们要么在1..p范围内，要么在q..n范围内。
- 在1.. mid point和mid point..n范围内执行二进制搜索，以寻找斜率下降的值。它只能在其中一个范围内找到。现在我们知道中点所在的1..p和q..n子范围。
重复从（1）到包含峰值的子范围的过程，直到达到p..q范围。
通过在Divide and conquer algorithm applied in finding a peak in an array.
在范围1..p，p..q，q..n。

==＆GT;总体复杂性为O（log ² n）。

在O（lgn）中搜索部分排序的数组

3 个答案: