当大O表示N加倍时的运行时间比率

Question

我使用Big O表示法了解到了

O(f(n)) + O(g(n)) -> O(max(f(n),g(n))

O( f(n) )* O( g(n)) -> O( f(n) g(n))

但是现在，我有这个等式来表示输入大小N

的运行时间T.

T(N) = O(N^2)  // O of N square

我需要找到比率T(2N) / T(N)

我试过这个

T(2N) / T(N) --> O((2N)^2) /O( N^2)  --> 4

这是对的吗？或者上述部门无效？

Answer 1

我也会说这是不正确的。我的直觉是，如果T(N)为O(N^2)，则T(2N)/T(N)为O(1)，与您T(2N)/T(N) = 4的建议一致。但我认为直觉是错误的。

考虑一个反例。

如果T(N)为奇数，则N为1，如果N^2为偶数则为N，如下所示。

这显然是O(N^2)，因为我们可以选择常量p=1，T(N) ≤ pN^2足够大N。

什么是T(2N)？这是(2N)^2 = 4N^2，如下所示，因为2N始终是偶数。

因此，当T(2N)/T(N)为奇数时4N^2/1 = 4N^2为N，4N^2/N^2=4为偶数时为N，如下所示。

显然T(2N)/T(N)不是4.但是O(N^2)，因为我们可以选择常量q=4，T(2N)/T(N) ≤ qN^2足够大N

以下图表的R代码

x=1:50
t1=ifelse(x%%2, 1, x^2)
plot(t1~x,type="l")

x2=2*x
t2=ifelse(x2%%2, 1, x2^2)
plot(t2~x,type="l")

ratio=t2/t1
plot(ratio~x,type="l")

这个问题很有意思，让我觉得属于纯数学领域，即序列的限制等。我没有接受纯数学方面的训练，我会因为声称T(2N)/T(N) 总是 O(N^2)而感到紧张，因为有可能发明一些相当曲折的反例。

Answer 2

即使T（N）=Θ（N²）（big-theta），这也不起作用。 （我甚至不打算谈论大O.）

c1 * N² <= T(N) <= c2 * N²
c1 * 4 * N² <= T(2N) <= c2 * 4 * N²

T(N) = c_a * N² + f(N)
T(2N) = c_b * 4 * N² + g(N)

对于c_a和c_b，介于c1和c2之间，f（N）和g（N）小于o的N 2。 （感谢G. Bach！）并且没有什么能保证商数等于4，因为c_a，c_b，f（N）和g（N）都可以是各种各样的东西。例如，取c_a = 1，c_b = 2和f（N）= g（N）= 0.除以它们就得到了

T(2N)/T(N) = (2 * 4 * N²)/N² = 8

Answer 3

好问题！

这是不正确的。

运行时间与时间复杂度（此处为大O）不同。时间复杂度表示，如果运行时间不能更长，则恒定时间 N ^ 2 。运行时间可以是非常不同，可能非常低，可能接近渐近极限。这纯粹取决于隐藏的常数。如果有人问你这个问题，这是一个技巧问题。

隐藏常数是指执行的原始指令的实际数量。因此，在这种情况下，操作总数可以是：

5*N^2

或

1000*N^2.

或者

100*N^2+90N

或者只是

100*N (Recall this is also O(N^2))

因素取决于实施和实际执行的指令。这可以从算法中找到。 所以无论哪种情况，我们只是说Big-O是 O（N ^ 2）。