关于Big O表示法（N * N？）

Question

我有一些问题，我正试图找到大O.令我困惑的是（N * N）问题：

for (i=1, sum=0, i <= N; i++) {
  for (j=1; j <= N*N; j++) {
     sum++;
  }
}

我猜它是O（N ^ 3）因为（N * N）可能代表两个循环。

for (i=1, sum=0, i <= N; i++) {
  for (j=1; j <= N*N; j++) {
     for (k=1; k<=j; k++) {
       sum++;
     }
  }
}

如果是，那么这个将是O（N ^ 4）？

Answer 1

for (i=1, sum=0, i <= N; i++) {  // loop over i
  for (j=1; j <= N*N; j++) {     // loop over j, no dependency
     sum++;
  }
}

j上的内部循环独立于i，并且具有复杂性O(N*N)。 外循环执行N次，因此总共O(N^3)。

for (i=1, sum=0, i <= N; i++) {  // loop over i
  for (j=1; j <= N*N; j++) {     // loop over j, no dependency
     for (k=1; k<=j; k++) {      // loop over k, dependent on j
       sum++;
     }
  }
}

k上的循环取决于j。 j在整数N*N上独立循环。 总和1 + 2 + ... + N * N等于(N * N + 1) * N * N / 2 O(N^4)。 再一次，i上的循环重复N次，因此总复杂度为O(N^5)。

为了计算大O，总是从最里面的循环开始并处理依赖关系！

Answer 2

您可以使用Sigma表示法有条不紊地正式着手：

Answer 3

我认为这是O（N ^ 5）。

第一个（外部）循环是O（N）。

第二个是O（N ^ 2）。

最后一个也是O（N ^ 2）。