分析具有递推的算法T（n）= T（n-1）+ T（n-2）+ T（n -3）？

Question

所以，有人早先发布了这个question，但基本上没有付出任何努力，它标记很差，然后关闭。尽管如此，我认为这可能是个好问题。我发帖是因为根据OP，我的回答（发表在评论中）与解决方案不一致。所以，我试图弄清楚我做错了什么（假设他的答案确实正确）：

我们有：

T(N) = T(N-1) + T(N-2) + T(N-3)

其中N>他没有列出基本案例，但是因为N＆gt; 3，我假设T(3)，T(2)和T(1)可能有3个基本案例。要计算T(K)，我们会执行以下操作：

T(K) = T(K-1) + T(K-2) + T(K-3)

然后我们必须计算：

T(K-1) = T((K-1)-1) + T((K-1)-2) + T((K-1)-3)
T(K-2) = T((K-2)-1) + T((K-2)-2) + T((K-2)-3)
T(K-3) = T((K-3)-1) + T((K-3)-2) + T((K-3)-3)

依旧...... 这是一个树形表示：

L0                                                  T(K)
                      /                              |                              \
L1               T(K-1)                            T(K-2)                           T(K-3)
          /         |     \                 /        |          \                 /   |     \
L2   T((K-1)-1) T((K-1)-2) T((K-1)-3)  T((K-2)-1) T((K-2)-2) T((K-2)-3) T((K-3)-1) T((K-3)-2) T((K-3)-3)    
                 ...                                ...                                ...

所以我们有3个孩子，然后是9个孩子，然后是27个孩子......，直到我们打到我们的基础病例。因此，该算法为O(3^(N-3))，N-3用于解释三个基本情况，即在T（4）之后，我们只能有基础情况，不再有分支。

从未提供过实际的解决方案，但就像我说的那样，我告诉我这是不正确的。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

您已设置的重复发生如下：

  

T（n）= T（n - 1）+ T（n - 2）+ T（n - 3）

我认为基本情况可能是

  

T（0）= T（1）= T（2）= 1

如果您开始扩展此重复的条款，则会获得

• T（0）= 1
• T（1）= 1
• T（2）= 1
• T（3）= 3
• T（4）= 5
• T（5）= 9
• T（6）= 17
• T（7）= 31
• ...

这里似乎没有明显的模式。幸运的是，我们可以转到在线整数序列百科全书并按照1,1,1,3,5,9,17这些条款进行操作，你会发现这是Tribonacci sequence，其前三个术语是1

如果您查看有关Tribonacci数字的信息，您会看到以下内容：

  

a（n）/ a（n-1）倾向于tribonacci常数，1.839286755 ......

（这里，a（n）是网站用于我的T（n）的表示法）。由于Tribonacci序列的连续项的比率倾向于约1.839286755，我们知道Tribonacci序列必须呈指数增长，并且它以大约Θ的速率指数增长（1.839286755 ⁿ ）。 （将其与Fibonacci序列进行比较，已知其在Θ（φ ⁿ ）处生长，其中φ是黄金比率）。在Wikipedia上进一步阅读会给出Tribonacci常数的公式：

并确认指数增长率。

因此，我们可以得出结论，运行时为Θ（1.839286755 ⁿ ）。

那么......你将如何自己计算？最简单的方法是使用generating functions（我认为这些值已知的方式）。您可以尝试为此处写出的重复导出生成函数，然后尝试以闭合形式重写生成函数以获取精确值。这是获得Fibonacci数字的封闭形式的一种方法，它应该在这里概括（尽管可能是通过令人不愉快的数学进行大量讨论。）或者，正如@tmyklebu指出的那样，你可以写出这个矩阵：

     | 0 1 0 |
 M = | 0 0 1 |
     | 1 1 1 |

并计算其特征值，其中最大的特征值将出现在Tribonacci常数上。 （请注意，此矩阵具有

的属性

 | 0 1 0 |   |a|   |    b    |
 | 0 0 1 | x |b| = |    c    |
 | 1 1 1 |   |c|   |a + b + c|

因此，如果将重复的三个连续值放入列向量v并计算Mv，则会返回一个新的列向量，其中包含重复的后两个值，以及重复中的下一个值。通过这种方式，您可以通过计算M ^k v并查看向量的第一个分量来计算递归的第k个值。）

希望这有帮助！

Answer 2

这是我学到的一种很酷的方法，所以我想我会与你分享。估计时间复杂度真的很简单。 看一下复发，我们猜测时间复杂度是指数级的。

让我们说：

T(N)=x^n

给定的重复是

T(N) = T(N-1) + T(N-2) + T(N-3)

代替

 x^n = x^n-1  + x^n-2  + x^n-3
Dividing throughout by x^n-3
 x^3 = x^2    + x^1    + 1
Rearranging
 x^3 - x^2 - x - 1=0

你可以找到它的立方根here。

这个三次方程有一个实根（1.8392867552141612）和两个复根（大小为0.7373527）。

因此，渐近我们算法的运行时间受 T（N）= 1.839 ^ n 的限制。

Answer 3

正如少数人注意到的，这种复发与原始复发T(N) = T(N-1) + T(N-2) - T(N-3)不同。我更喜欢假设@Aravind给出T(N)=x^N的方法。通过此重复，您将获得特征等式x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1)。 （这将是@templatetypedef矩阵方法的特征方程，如果你采用这种方法，则是生成函数的分母。）

重复的根源会造成各种困难。矩阵不可对角化。当你考虑它时，生成函数有一个重复的分母。当您假设T(N)=x^N时，您只能获得两个线性独立的解决方案，并且需要第三个解决方案。

通常，当您假设T(N)=x^N并获得双根r时，这意味着线性独立解决方案为r^N和N*r^N（三重根将引入N^2*r^N {1}}）。因此，在我们的案例中，重复的三个线性独立解决方案是(-1)^N，1^N=1和N*1^N=N。这意味着一般解决方案为T(N)=A(-1)^N+B+C*N，您可以使用初始条件来确定A，B和C。如果是C!=0，则为T(N)=Θ(N)，否则为T(N)=Θ(1)。对于算法而言，这可能不太现实。