嵌套循环的复杂性

Question

我试图找出使用Big O表示法的for循环的复杂性。我之前在其他课程中已经完成了这个，但是这个比其他课程更严格，因为它是在实际的算法上。代码如下：

for(i=n ; i>1 ; i/=2) //for any size n
{
    for(j = 1; j < i; j++)
    {
      x+=a
    }
}

和

for(i=1 ; i<=n;i++,x=1) //for any size n
{
    for(j = 1; j <= i; j++)
    {
      for(k = 1; k <= j; x+=a,k*=a)
      {

      }
    }
}

我已经到了，第一个循环具有O（n）复杂度，因为它经过n次列表。至于第二个循环，我有点迷路！ 感谢您在分析中提供的帮助。每个循环都在自己的空间中，它们不在一起。

Answer 1

考虑第一个代码片段

for(i=n ; i>1 ; i/=2) //for any size n
{
    for(j = 1; j < i; j++)
    {
      x+=a
    }
}

指令x+=a执行总共n + n/2 + n/4 + ... + 1次。

G.P.的第一个log ₂ n项的总和起始期n和公共比率1/2是（n（1-（1/2） ^{log ₂ n} ）） /（1/2）即可。因此，第一个代码片段的复杂性是 O（n）。

现在考虑第二个代码片段，

for(i=1 ; i<=n; i++,x=1)
{
    for(j = 1; j <= i; j++)
    {
      for(k = 1; k <= j; x+=a,k*=a)
      {

      }
    }
}

两个外部循环一起调用最里面的循环总共n(n+1)/2次。最里面的循环最多执行log<sub>a</sub>n次。因此，第二个代码片段的总时间复杂度为 O（n ² log _a n）。

Answer 2

您可以按照以下方式正式继续：

片段1：

片段2 （Pochhammer，G-Function和Stirling的近似）：

使用log(G(n))。

[片段2的更新] ：

来自“DISCRETE LOOPS AND WORST CASE PERFORMANCE”出版物的一些增强，由Johann Blieberger博士（所有案例验证 a = 2 ）：

其中：

因此，

Answer 3

编辑：我同意第一个代码块是 O （n）

你通过跳过2递减外环i，并且在内循环中你运行i次，所以迭代次数将是两个小于或小于2的所有幂的总和。等于N但大于0，即n ^log（n）+1 - 1，所以 O （n）。

第二个代码块是 O （log _a （n）n ² ），假设a是常量。< / p>

两个最外面的循环等于所有小于或等于n的数字之和，即n（n-1）/ 2，所以 O （n ² ）。最后，内部循环是小于n的上限的幂，即 O （log _a n）。