Question

今天在课堂上我的老师在黑板上写下了这个递归因子算法：

int factorial(int n) {
   if (n == 1) 
       return 1;
   else 
       return n * factorial(n-1);
}

她说费用为T(n-1) + 1。

然后使用迭代方法她说T(n-1) = T(n-2) + 2 = T(n-3) + 3 ... T(n-j) + j，所以算法在n - j = 1停止，所以j = n - 1。

之后，她替换了j中的T(n-1) + 1，并获得了T(1) + n-1。

她直接说那个n-1 = 2 ^{（log ₂ n-1）}，所以算法的成本是指数级的。

我真的失去了最后两步。可以请有人向我解释一下吗？

Answer 1

让我们从分析这个算法开始吧。我们可以为完成的工作总量写一个递归关系。作为基本情况，当算法在大小为1的输入上运行时，您执行一个工作单元，所以

T（1）= 1

对于大小为n + 1的输入，您的算法在函数本身内执行一个工作单元，然后在大小为n的输入上调用相同的函数。因此

T（n + 1）= T（n）+ 1

如果你扩展了重复的条款，你就可以得到

T（1）= 1
T（2）= T（1）+ 1 = 2
T（3）= T（2）+ 1 = 3
T（4）= T（3）+ 1 = 4
...
T（n）= n

所以一般来说这个算法需要n个工作单元来完成（即T（n）= n）。

你老师说的下一件事就是那个

T（n）= n = 2 ^{log ₂ n}

这句话是正确的，因为对于任何非零x，2 ^{log ₂ x} = x，因为取幂和对数是彼此的逆运算。

所以问题是：这是多项式时间还是指数时间？我把它归类为伪多项式时间。如果将输入x视为数字，则运行时确实是x中的多项式。然而，正式定义多项式时间，使得算法的运行时必须是关于用于指定问题输入的位数的多项式。这里，数字x只能用Θ（log x）位指定，因此2 ^{log x}的运行时间在技术上被认为是指数时间。我在this earlier answer中写了这篇文章的长度，我建议你仔细阅读它。

希望这有帮助！

阶乘递归算法的复杂性

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