对于运行时间为（cn）的函数！其中c是系数> = 0且c！= n，游程的紧密边界是Θ（n！）还是Θ（（cn）！）？现在，我相信它将是Θ（（cn）！），因为自cn！= n以来，它们的差值> = n。
谢谢！
编辑：一个更具体的示例来阐明我的要求：
（7n）!,（5n / 16）！和n！全部都是Θ（n！）？
答案 0 :(得分：1)
如果c> 1，则可以使用Stirling's approximation来获得（cn）！渐近地大于pow（c，n）* n !，因为商不同，它不是O（n！）。作为更基本的方法，请考虑以下示例，其中c = 2：（2n）！=（2n）（2n-1）...（n + 1）n！> n！n！和（n！n！）/ n！= n！发散，所以（2n）！不是O（n！）。
答案 1 :(得分：0)
（7n）!,（5n / 16）！和n！全部都是Θ（n！）？
我认为您的问题有两个答案。
从纯粹的理论角度来看，较短的一个。在这3个中，仅n!属于Θ(n!)类。第二个位于O(n!)（请注意，用big-O代替big-Theta），而(7n)!比Θ(n!)慢，它位于Θ((7n)!)
还有一个更长但更实际的答案。为了实现这一目标，我们首先需要首先了解整个big-O和big-Theta业务有什么大不了的事情？
问题是对于许多实际任务而言，有很多算法，但并非所有算法都具有同等甚至相似的效率。所以实际的问题是：我们能以某种易于理解和比较的方式捕获性能差异吗？这就是big-O / big-Theta试图解决的问题。该方法背后的思想是，如果我们在某个算法中使用具有复杂的实数公式的精确时间，则只有一个项的增长速度快于所有其他项，因此随着问题变大，它将占主导地位。因此，让我们将此大公式压缩为该主导术语。然后，我们可以比较这些术语，如果它们不同，我们可以轻松地说出哪种算法更好（7*n^2明显好于2*n^3）。
另一个想法是，“操作”一词通常在人们通常认为的算法级别上定义不明确。哪一个“操作”实际上映射到一条CPU指令，哪一个“映射”取决于许多因素，例如特定的硬件。指令本身也可能花费不同的时间来执行。此外，有时算法的工作时间由内存访问而不是CPU指令控制，并且这些组件不容易累加。这个故事的士气是，如果两种算法仅在标量系数上不同，那么您就无法真正从理论上比较这些算法。您需要比较某些特定环境中的一些实现。这就是为什么算法复杂度度量通常可以归结为类似O(n^k)，其中k是常数的原因。
还有更多考虑因素：实用性。如果算法是多项式，则a=3中的案例a=4和O(n^a)之间存在很大的 实用 差异。但是，如果它类似于O(2^(n^a))，则a与a>1的精确度没有太大区别。这是因为2^n的增长速度足够快，几乎不管n，对于几乎任何现实的a来说都是不切实际的。因此，实际上，将所有这些算法放入一个“指数算法”存储桶中通常是足够好的近似值，并且说尽管它们之间存在巨大差异，但它们都是不切实际的。这是一些数学上非常规的符号，例如2^O(n)的来源。
从最后一个实际角度出发，Θ(n!)和Θ((7n)!)之间的差异也很小：两者都是不切实际的，因为它们甚至都超出了2^O(n)的指数桶（请参阅{{3 }}，表明n!的增长速度比(n/e)^n快）。因此，将所有这些算法放入另一个“阶乘复杂性”类别并将它们标记为不切实际也是有意义的。