Question

查找数字n的阶乘的递归程序的复杂性是多少？我的预感是它可能是O(n)。

Answer 1

如果将乘法设为O(1)，则是，O(N)是正确的。但请注意，在有限硬件上乘以两个任意长度x的数字不 O(1) - 因为x趋于无穷大，乘法所需的时间会增长（例如，如果您使用Karatsuba multiplication，则为O(x ** 1.585)）。

理论上你可以用Schönhage-Strassen对数量足够大的数字做得更好，但我承认我没有真正的世界经验。 x，“长度”或“数字位数”（无论以何种为基础，无论如何对N的大O都无关紧要，当然也会随着O(log N)而增长。

如果您的意思是将问题限制为足够短的数字因子乘以O(1)，那么N无法“趋于无穷大”，因此大O符号是不合适的。

Answer 2

当您表达算法的复杂性时，它始终是输入大小的函数。如果您乘以的数字是固定大小，则假设乘法是O(1)操作是有效的。例如，如果要确定计算矩阵乘积的算法的复杂性，可以假设矩阵的各个组件具有固定大小。那么假设两个单独的矩阵分量的乘法是O(1)是有效的，你可以根据每个矩阵中的条目数计算复杂度。

但是，当您想要计算出计算N!的算法的复杂性时，您必须假设N可以任意大，因此假设乘法是{ {1}}操作。

如果你想将一个n位数与一个m位数相乘，那么天真算法（你手工做的那种）需要时间O(1)，但算法更快。

如果您想分析用于计算O(mn)

的简易算法的复杂性

N!

然后在for循环中的第k个步骤，您将factorial(N) f=1 for i = 2 to N f=f*i return f乘以(k-1)!。用于表示k的位数为(k-1)!，用于表示O(k log k)的位数为k。因此，将O(log k)和(k-1)!相乘所需的时间为k（假设您使用了朴素乘法算法）。然后算法所花费的总时间是每个步骤所用时间的总和：

O(k (log k)^2)
的 sum k = 1 to N [k (log k)^2] <= (log N)^2 * (sum k = 1 to N [k]) =

您可以使用更快的乘法算法来改善此性能，例如Schönhage-Strassen，它需要{n = 2个数字的时间O(N^2 (log N)^2)。

提高性能的另一种方法是使用更好的算法来计算O(n*log(n)*log(log(n)))。我所知道的最快的一个首先计算N!的素数因子分解，然后乘以所有素数因子。

Answer 3

假设你在谈论有史以来最天真的因子算法：

factorial (n):
  if (n = 0) then return 1
  otherwise return n * factorial(n-1)

是的，该算法是线性的，在O（n）时间内运行。这是因为它每次递减值n时执行一次，并且它递减值n直到它达到0，这意味着函数被递归调用n倍。当然，这是假设递减和乘法都是常数运算。

当然，如果你以其他方式实现阶乘（例如，使用递归而不是乘法），最终会得到一个更加时间复杂的算法。不过，我不建议使用这样的算法。

Answer 4

递归阶乘的时间复杂度为：

factorial (n) {    
    if (n = 0) 
        return 1
    else
        return n * factorial(n-1)
}

所以

一个递归调用的时间复杂度为：

T(n) = T(n-1) + 3   (3 is for As we have to do three constant operations like 
                 multiplication,subtraction and checking the value of n in each recursive 
                 call)

     = T(n-2) + 6  (Second recursive call)
     = T(n-3) + 9  (Third recursive call)
     .
     .
     .
     .
     = T(n-k) + 3k
     till, k = n

     Then,

     = T(n-n) + 3n
     = T(0) + 3n
     = 1 + 3n

以Big-Oh表示法表示，

T（N）与n成正比，

因此，递归阶乘的时间复杂度为O（n）。由于递归调用期间没有占用额外的空间，因此空间复杂度为O（N）。

递归阶乘程序的复杂性

4 个答案: