Question

我有以下问题，但我不知道如何证明

n! is
    Select one or more:
 a. O(n^{3}) 
 b. O((n/2)^{n}) 
 c. O((n/3)^{n}) 
 d. O((n+1)!) 
 e. O(n^{n})
 f. O(2^{n})

我正在考虑使用f（x）∈O（g（x））的属性，当且仅当存在值x0且常数c> 0时，对于所有x> = x0 f（x））＆LT; = C * G（x）的

这意味着最后一个：

n! <= c*2^{n}, for all n>=n0
n!/2^n <=c, for all n>=n0

如果我在这里说不等式是假的，那么它是正确的吗？因为n！/ 2 ^ n倾向于无穷大而c只是一个常数？

应用这个逻辑我得到了那个！是b。，c。，d。，e。但我不确定这是否正确。

Answer 1

你是对的n！ ≠O（2 ⁿ）正是因为你提到的原因。

对于（b）和（c），您需要一种更细微的方法。斯特林的近似说明了

N！ =Θ（√n（n / e）ⁿ）

这可能有助于评估n的限制！超过数量（b）和（c）。如果你这样做，你会看到两个边界中只有一个成立，而不是两个。

是的，（d）和（e）是正确的。

希望这有帮助！