Question

从我的SymPy输出中，我有如下所示的矩阵，我必须在2D中集成。目前我正在以元素方式进行，如下所示。对于我的实际案例（其中sympy.mpmath.quad及其函数更大（参见下面的编辑）），此方法有效，但对于scipy.integrate.dblquad和A来说都太慢了：

from sympy import Matrix, sin, cos
import sympy
import scipy
sympy.var( 'x, t' )
A = Matrix([[(sin(2-0.1*x)*sin(t)*x+cos(2-0.1*x)*cos(t)*x)*cos(3-0.1*x)*cos(t)],
            [(cos(2-0.1*x)*sin(t)*x+sin(2-0.1*x)*cos(t)*x)*sin(3-0.1*x)*cos(t)],
            [(cos(2-0.1*x)*sin(t)*x+cos(2-0.1*x)*sin(t)*x)*sin(3-0.1*x)*sin(t)]])

# integration intervals
x1,x2,t1,t2 = (30, 75, 0, 2*scipy.pi)

# element-wise integration
from sympy.utilities import lambdify
from sympy.mpmath import quad
from scipy.integrate import dblquad
A_int1 = scipy.zeros( A.shape, dtype=float )
A_int2 = scipy.zeros( A.shape, dtype=float )
for (i,j), expr in scipy.ndenumerate(A):
    tmp = lambdify( (x,t), expr, 'math' )
    A_int1[i,j] = quad( tmp, (x1, x2), (t1, t2) )
    # or (in scipy)
    A_int2[i,j] = dblquad( tmp, t1, t2, lambda x:x1, lambda x:x2 )[0]

我一直在考虑像这样做，但我不确定这是否可行：

A_eval = lambdify( (x,t), A, 'math' )
A_int1 = sympy.quad( A_eval, (x1, x2), (t1, t2)                 
# or (in scipy)
A_int2 = scipy.integrate.dblquad( A_eval, t1, t2, lambda x: x1, lambda x: x2 )[0]

编辑：真实案例已在this link中提供。只需解压缩并运行shadmehri_2012.py（这个例子的作者来自：Shadmehri et al. 2012）。我已经为能够做到以下事情的人开始了50美元的赏金：

使其明显快于提议的问题
即使在代码中有多个术语m=15和n=15也设法运行而不会出现内存错误，我在32-中设置了m=7和n=7位

当前时间可以总结如下（用m = 3和n = 3测量）。从那里可以看出，数值积分是瓶颈。

构建试验函数= 0％
评估微分方程= 2％
lambdifying k1 = 22％
积分k1 = 74％
lambdifying和积分k2 = 2％
提取特征值= 0％

相关问题：about lambdify

Answer 1

我认为你可以通过在计算的不同阶段切换到数值评估来避免lambdification时间。

即，您的计算似乎是对角线，因为k1和k2都是k = g^T X g形式，其中X是一些5x5矩阵（内部有差分操作，但是没关系），g是5xM，M大。因此k[i,j] = g.T[i,:] * X * g[:,j]。

所以你可以直接替换

for j in xrange(1,n+1):
    for i in xrange(1,m+1):
        g1 += [uu(i,j,x,t),          0,          0,          0,          0]
        g2 += [          0,vv(i,j,x,t),          0,          0,          0]
        g3 += [          0,          0,ww(i,j,x,t),          0,          0]
        g4 += [          0,          0,          0,bx(i,j,x,t),          0]
        g5 += [          0,          0,          0,          0,bt(i,j,x,t)]
g = Matrix( [g1, g2, g3, g4, g5] )

与

i1 = Symbol('i1')
j1 = Symbol('j1')
g1 = [uu(i1,j1,x,t),          0,          0,          0,          0]
g2 = [          0,vv(i1,j1,x,t),          0,          0,          0]
g3 = [          0,          0,ww(i1,j1,x,t),          0,          0]
g4 = [          0,          0,          0,bx(i1,j1,x,t),          0]
g5 = [          0,          0,          0,          0,bt(i1,j1,x,t)]
g_right = Matrix( [g1, g2, g3, g4, g5] )

i2 = Symbol('i2')
j2 = Symbol('j2')
g1 = [uu(i2,j2,x,t),          0,          0,          0,          0]
g2 = [          0,vv(i2,j2,x,t),          0,          0,          0]
g3 = [          0,          0,ww(i2,j2,x,t),          0,          0]
g4 = [          0,          0,          0,bx(i2,j2,x,t),          0]
g5 = [          0,          0,          0,          0,bt(i2,j2,x,t)]
g_left = Matrix( [g1, g2, g3, g4, g5] )

和

tmp = evaluateExpr( B*g )
k1 = r*tmp.transpose() * F * tmp
k2 = r*g.transpose()*evaluateExpr(Bc*g)
k2 = evaluateExpr( k2 )

通过

tmp_right = evaluateExpr( B*g_right )
tmp_left = evaluateExpr( B*g_left )
k1 = r*tmp_left.transpose() * F * tmp_right
k2 = r*g_left.transpose()*evaluateExpr(Bc*g_right)
k2 = evaluateExpr( k2 )

没有测试（过去的时间），但你明白了。

现在，你没有一个巨大的符号矩阵使得一切变慢，你有两个矩阵指数用于试验函数索引，而自由参数i1,j1和i2,j2扮演他们的角色，你应该替换它们最后将它们整合在一起。

由于lambdify的矩阵只有5x5，并且只需要在所有循环之外进行一次lambdified，因此lambdification和简化开销就消失了。而且，即使对于大的m，n，问题也很容易适应记忆。

集成速度不是更快，但由于表达式非常小，因此您可以轻松地进行集成。 dump them in Fortran或做其他聪明的事。

Answer 2

quadpy（我的一个项目）进行矢量化数值积分。此

from numpy import sin, cos, pi
import quadpy


def f(X):
    x, t = X
    return [
        [(sin(2-0.1*x)*sin(t)*x+cos(2-0.1*x)*cos(t)*x)*cos(3-0.1*x)*cos(t)],
        [(cos(2-0.1*x)*sin(t)*x+sin(2-0.1*x)*cos(t)*x)*sin(3-0.1*x)*cos(t)],
        [(cos(2-0.1*x)*sin(t)*x+cos(2-0.1*x)*sin(t)*x)*sin(3-0.1*x)*sin(t)]
        ]


x1 = 30
x2 = 75
t1 = 0
t2 = 2*pi

sol = quadpy.quadrilateral.integrate(
        f,
        [[x1, t1], [x2, t1], [x2, t2], [x1, t2]],
        quadpy.quadrilateral.Product(quadpy.line_segment.GaussLegendre(5))
        )

print(sol)

给出

[[ 1456.3701526 ]
 [ 2620.60490653]
 [ 5034.5831071 ]]

时序：

%timeit quadpy.quadrilateral.integrate(f, [[x1, t1], [x2, t1], [x2, t2], [x1, t2]], q)
1000 loops, best of 3: 219 µs per loop

这会在您的可下载示例中带来显着的加速：

import numpy
array2mat = [{'ImmutableMatrix': numpy.array}, 'numpy']
k1_lambda = lambdify( (x,t), k1, modules=array2mat)
print 'Finished lambdifying k1:', time.clock()
import quadpy
sol = quadpy.quadrilateral.integrate(
    lambda X: k1_lambda(X[0], X[1]),
    [[x1, t1], [x2, t1], [x2, t2], [x1, t2]],
    quadpy.quadrilateral.Product(quadpy.line_segment.GaussLegendre(5))
    )

输出：

Start: 0.040001
Finished trial functions: 0.379929
Finished evaluating differential equations: 2.669536
Finished lambdifying k1: 29.961808
Finished integrating k1: 30.106988
Finished lambdifying and integrating k2: 34.229007
Finished calculating eigenvalues and eigenvectors: 34.229924

请注意， quadpy 不进行自适应正交，因此请明智地选择您的方案。

函数矩阵，SymPy和SciPy的数值积分

2 个答案: