Question

我想测试特定类型的随机矩阵在有限域上是否可逆，特别是F_2。我可以使用以下简单代码测试矩阵在实数上是否可逆。

import random
from scipy.linalg import toeplitz
import numpy as np
n=10
column = [random.choice([0,1]) for x in xrange(n)]
row = [column[0]]+[random.choice([0,1]) for x in xrange(n-1)]
matrix = toeplitz(column, row)
if (np.linalg.matrix_rank(matrix) < n):
    print "Not invertible!"

有没有办法在F_2上实现相同的目标？

Answer 1

最好使用Sage或其他适当的工具。

以下只是非专业的非专家尝试做某事，但旋转高斯消除应该给出可逆性的确切结果：

import random
from scipy.linalg import toeplitz
import numpy as np

def is_invertible_F2(a):
    """
    Determine invertibility by Gaussian elimination
    """
    a = np.array(a, dtype=np.bool_)
    n = a.shape[0]
    for i in range(n):
        pivots = np.where(a[i:,i])[0]
        if len(pivots) == 0:
            return False

        # swap pivot
        piv = i + pivots[0]
        row = a[piv,i:].copy()
        a[piv,i:] = a[i,i:]
        a[i,i:] = row

        # eliminate
        a[i+1:,i:] -= a[i+1:,i,None]*row[None,:]

    return True

n = 10
column = [random.choice([0,1]) for x in xrange(n)]
row = [column[0]]+[random.choice([0,1]) for x in xrange(n-1)]
matrix = toeplitz(column, row)

print(is_invertible_F2(matrix))
print(int(np.round(np.linalg.det(matrix))) % 2)

请注意np.bool_仅在限制意义上类似于F_2 --- F_2中的二元操作+对于bool是-，而一元操作-是+。但乘法是相同的。

>>> x = np.array([0, 1], dtype=np.bool_)
>>> x[:,None] - x[None,:]
array([[False,  True],
       [ True, False]], dtype=bool)
>>> x[:,None] * x[None,:]
array([[False, False],
       [False,  True]], dtype=bool)

上面的高斯消除仅使用这些操作，因此它可以工作。

Answer 2

不幸的是，SymPy还不能处理矩阵中的有限域，但计划提供支持。

正如一些评论者指出的那样，你可以只检查整数的行列式。如果它是1（模2），则矩阵是可逆的。要实际找到逆，你可以在整数上取正态倒数，乘以行列式（这样你就没有分数），并将每个元素修改为2.我无法想象它会过于高效，你可以使用任何矩阵库，甚至是数字矩阵库（舍入到最接近的整数）。 SymPy也可以执行上述每个步骤。

我应该指出，在一般的循环有限域中，“乘以行列式”部分需要通过乘以逆mod p来解除（它是不必要的mod 2，因为唯一的可能性是1）。

测试矩阵在有限域上是否可逆

2 个答案: