Question

我需要找出矩阵是否为positive definite。我的矩阵是numpy矩阵。我期待在numpy库中找到任何相关的方法，但没有成功。我感谢任何帮助。

Answer 1

您还可以检查矩阵的所有特征值是否为正，如果是，矩阵是正定的：

import numpy as np

def is_pos_def(x):
    return np.all(np.linalg.eigvals(x) > 0)

Answer 2

您可以尝试计算Cholesky分解（numpy.linalg.cholesky）。如果矩阵不是正定的，这将引发LinAlgError。

Answer 3

上述所有答案似乎都有一点混淆（至少在这个问题上是这样）。

对于实矩阵，np.linalg.cholesky中的正特征值和正前导项的测试仅适用于矩阵是对称的。因此，首先需要测试矩阵是否对称，然后应用其中一种方法（正特征值或Cholesky分解）。

例如：

import numpy as np

#A nonsymmetric matrix
A = np.array([[9,7],[6,14]])

#check that all eigenvalues are positive:
np.all(np.linalg.eigvals(A) > 0)

#take a 'Cholesky' decomposition:
chol_A = np.linalg.cholesky(A)

矩阵A不对称，但特征值为正，Numpy返回错误的Cholesky分解。你可以查看：

chol_A.dot(chol_A.T)

与A不同。

您还可以检查上面的所有python函数是否为“正定性”测试为正。如果您尝试使用Cholesky分解来计算逆，这可能是一个严重的问题，因为：

>np.linalg.inv(A)
array([[ 0.16666667, -0.08333333],
   [-0.07142857,  0.10714286]])

>np.linalg.inv(chol_A.T).dot(np.linalg.inv(chol_A))
array([[ 0.15555556, -0.06666667],
   [-0.06666667,  0.1       ]])

是不同的。

总之，我建议在上面的任何函数中添加一行来检查矩阵是否对称，例如：

def is_pos_def(A):
    if np.array_equal(A, A.T):
        try:
            np.linalg.cholesky(A)
            return True
        except np.linalg.LinAlgError:
            return False
    else:
        return False

您可能希望在上面的函数中为np.allclose（A，A.T）替换np.array_equal（A，A.T），以避免由浮点错误引起的差异。

Answer 4

我不知道为什么NPE的解决方案被低估了。这是最好的方法。我在Wkipedia发现复杂性是立方的。

此外，据说它在数值上比Lu分解更稳定。并且Lu分解比找到所有特征值的方法更稳定。

而且，这是一个非常优雅的解决方案，因为它是一个事实：

当且仅当对象为正对称时，矩阵才会进行Cholesky分解。

那么为什么不使用数学呢？也许有些人对异常的提升感到害怕，但事实也是这样，用异常编程是非常有用的。

Answer 5

用一些现成的代码来说明@ NPE的答案：

import numpy as np

def is_pd(K):
    try:
        np.linalg.cholesky(K)
        return 1 
    except np.linalg.linalg.LinAlgError as err:
        if 'Matrix is not positive definite' in err.message:
            return 0
        else:
            raise

Answer 6

如果您特别想要对称的（埃尔密特数，如果是复数的话）正SEMI定矩阵，则下面将做。如果您不关心对称（埃尔米特数，如果是复数），则删除检查它的'if'状态。如果要使用正定而不是正SEMI定，则删除正则化行（并将传递给'np.lingalg.cholesky（）'的值从'regularized_X'更改为'X'）。下面

import numpy as np

def is_hermitian_positive_semidefinite(X):
    if X.shape[0] != X.shape[1]: # must be a square matrix
        return False

    if not np.all( X - X.H == 0 ): # must be a symmetric or hermitian matrix
        return False

    try: # Cholesky decomposition fails for matrices that are NOT positive definite.

        # But since the matrix may be positive SEMI-definite due to rank deficiency
        # we must regularize.
        regularized_X = X + np.eye(X.shape[0]) * 1e-14

        np.linalg.cholesky(regularized_X)
    except np.linalg.LinAlgError:
        return False

    return True

Answer 7

对于非对称矩阵，您可以使用主要次要测试：

def isPD(Y):
  row = X.shape [0]
  i = 0
  j = 0
  for i in range(row+1) : 
    Step = Y[:i,:j]
    j+=1
    i+=1
    det = np.linalg.det(Step)
    if det > 0 : 
        continue 
    else :
        return ("Not Positive Definite, Test Principal minor failed")

  return ("Positive Definite")

Answer 8

对于真实矩阵$ A $，我们有$ x ^ TAx = \ frac {1} {2}（x ^ T（A + A ^ T）x）$，$ A + A ^ T $是对称实矩阵。因此，如果$ A + A ^ T $是肯定的，那么$ A $是肯定的，如果$ A + A ^ T $的所有特征值都是正的。

import numpy as np

def is_pos_def(A):
    M = np.matrix(A)
    return np.all(np.linalg.eigvals(M+M.transpose()) > 0)

Answer 9

正定

numpy.linalg.cholesky(x) # just handle the error LinAlgError

正半定

np.all(np.linalg.eigvals(x) >= 0)

注意：如果你的矩阵是 np.all(np.linalg.eigvals(x) > 0)，即使你看到 PSD 而不仅仅是 >，大多数情况下 >= 也会给你，我进入了前几天这个问题。我认为这应该与舍入误差有关，因为我们的特征值非常小，甚至 cholesky 分解也可能会产生误差。

注意

为了测试，您可能想要创建一些正半定矩阵和一些正定矩阵：

n_size=4
a = np.random.rand(n_size)
A_PSD = np.outer(a,a)  # the outer product of any vector generates a PSD matrix
A_PD = A_PSD+np.identity(n_size) # little trick I found for PS matrix

找出矩阵是否肯定与numpy

9 个答案:

正定

正半定

注意