在图中查找周期（不一定是哈密顿量或访问所有节点）

Question

我有图1中的图形（第一个图像），并希望连接红色节点以具有循环，但循环不必像图2和图{{ 3}}（最后两张图片）。这个问题比TSP有更大的搜索空间，因为我们可以访问节点两次。像TSP一样，不可能在大图中评估所有组合，我应该尝试启发式，但问题是，与TSP不同，周期或游览的长度在这里不固定。因为访问所有蓝色节点不是强制性的，并且这导致具有可变长度，包括一些蓝色节点。如何在每次评估时生成可能的“有效”组合？我的意思是，一个循环可以是{A，e，B，l，k，j，D，j，k，C，g，f，e}或{A，e，B，l，k，j，D， j，i，h，g，C，g，f，e}，但不是{A，e，B，l，k，C，g，f，e}或{A，B，k，C，i， d}。

更新 最终目标是在考虑长度和风险的情况下评估哪个周期最佳/接近最佳（见下文）。因此，我不仅要缩短长度，还要尽量降低风险。这导致无法评估循环风险，除非您知道其所有节点序列。希望这澄清了为什么我无法在其生成过程中评估新循环。 我们可以：

• 逐个生成并评估可能的周期;
• 或生成所有可能的周期，然后进行评估。

风险的定义： 假设循环是一个环，它将主节点（红色节点之一）连接到所有其他红色节点。如果环的任何部分（边缘）发生故障，则不应从主节点断开红色节点（这是期望的）。然而，我们必须传递两次边缘（由于没有连接所有红色节点的哈密尔顿循环），并且在这些边缘发生故障的情况下，一些红色节点可能完全断开。因此，周期风险是风险边缘长度的总和（我们在环/巡回赛中有两次）乘以我们在削减每个风险边缘时丢失的红色节点数。

我正在研究的包含5个红色节点和95个蓝色节点的3D图形的真实示例如下：

并且3链接到包含上图的邻接矩阵的Excel工作表（前五个节点为红色，其余为蓝色）。

Answer 1

经过多次反思，我认为重写我的解决方案可能更好，因为你可以使用红色节点两次，这使得我最初的想法是将红色节点之间的路径映射效率低下。但是，它并没有完全浪费，因为红色节点之间的蓝色节点很重要。

您实际上可以使用BFS的修改版本解决此问题，因为更多的是backtracking algorithm。对于每个独特的分支，存储以下信息，其中大部分仅允许以更多空间为代价更快地拒绝，实际上只需要前两个项目：

• 完整的当前路径。 （仅包含起始红色节点的列表）
• 剩余的红色节点。 （最初都是红色节点）
• 最后一个红色节点。 （最初是启动红色节点）
• 自上一个红色节点以来的蓝色节点集。 （最初是空的）
• 计数为1的节点集（最初为空）
• 计数为2的节点集（最初为空）

算法从单个节点开始，然后使用BFS或DFS扩展相邻节点，这将重复直到结果是有效的游览或者要扩展的节点被拒绝。所以基本的psudoish代码（当前路径和剩余的红点）看起来如下所示。其中rn是红色节点的集合，t是有效游览的列表，p / p2是节点的路径，r / r2是一组红色节点，v是要扩展的节点，a是可能的节点扩展到。

function PATHS2HOME(G,rn)
    create a queue Q
    create a list t
    p = empty list
    v ← rn.pop()
    r ← rn
    add v to p
    Q.enqueue((p,r))
    while Q is not empty
        p, r ← Q.dequeue()
        if r is empty and the first and last elements of p are the same:
            add p to t
        else
            v ← last element of p
            for all vertices a in G.adjacentVertices(v) do 
                if canExpand(p,a)
                    p2 ← copy(p)
                    r2 ← copy(r)
                    add a to the end of p2
                    if isRedNode(a) and a in r2
                        remove a from r2
                    Q.enqueue( (p2,r2) )
    return t

以下条件可防止节点扩展。可能不是一个完整的清单。

• 红色节点：
  • 如果它位于计数为2的节点集中。这是因为红色节点的使用次数将超过两次。
  • 如果它等于最后一个红色节点。当红色节点与其他三个蓝色节点相邻时，这可以防止“奇怪”游览。因此，说红色节点A与蓝色节点b，c和d相邻。然后你会结束巡回演出，其中部分巡演看起来像b-A-c-A-d。
• 蓝色节点：
  • 如果它位于计数为2的节点集中。这是因为红色节点的使用次数将超过两次。
  • 如果它位于自上一个红色节点以来的蓝色节点集中。这是因为它会导致红色节点之间出现蓝色节点循环。

可能的优化：

• 您可以绘制红色节点之间的路径，使用它来构建后缀树的某些内容，显示可以通过以下路径获得的红色节点。这样做的好处是，如果扩展路径导致已经访问过两次的红色节点，则可以避免扩展节点。因此，一旦至少访问了一个红色节点两次，这只是一个有用的检查。
• 使用算法的并行版本。单个线程可以访问队列，队列中的元素之间没有交互。虽然我怀疑可能有更好的方法。有可能将运行时间减少到几秒而不是几百秒。虽然这取决于并行化水平和效率。您也可以将其应用于以前的算法。实际上，我转而使用这种算法的原因几乎被
否定了
• 您可以使用堆栈而不是队列。这里的主要好处是使用深度优先方法，队列的大小应该保持相当小。