学习我的决赛：渐近符号

Question

我目前正在攻读算法的最终版本。这不是一个家庭作业问题，而是来自旧的期末考试。

Show that f(n) = 4logn + log log n is big theta of logn. 

很明显，log log n远小于log n，因此无关紧要。但我怎样才能正式展示呢？我熟悉限制和L'hopital，所以如果你能告诉我如何使用这种方法，我会很感激。

Answer 1

记住大theta的定义。函数f(x)位于Theta(g(x)) if

您有f(x) = 4*log(x) + log(log(x))和g(x) = log(x)。现在，我们必须证明c_0，c_1和x_0的值符合条件。

如果我们将c_0 = 1和x_0大到log(log(x_0)) > 0（确切的数字取决于您的对数的基数，但总是有这样的数字，而我们不会真的需要知道它，然后很容易证明第一个不等式适用于所有x > x_0：log(x) <= 4*log(x) + log(log(x))（提示：log(log(x))已经> 0和对数功能单调增加。

现在让我们选择c_1 = 5。第二个不等式现在变为4*log(x) + log(log(x)) <= 5*log(x)，这简化为

log(log(x)) <= log(x)

适用于所有x > x_0。我会把这个证据作为练习留给你。 ： - ）

Answer 2

查找c1，c2和no的简便方法

查找上限：

 f(n) = 4logn+loglogn


    For all sufficience value of n>=2

        4logn <= 4 logn   
        loglogn <= logn 

    Thus , 

     f(n) = 4logn+loglogn <= 4logn+logn
                          <= 5logn
                           = O(logn)       // where c1 can be 5 and n0 =2

寻找下限：

   f(n) = 4logn+loglogn

   For all sufficience value of n>=2

      f(n) = 4logn+loglogn >= logn
    Thus,              f(n) =  Ω(logn)   // where c2 can be 1 and n0=2


  so , 
                        f(n) = Ɵ(logn)