使用MATLAB集成0阶贝塞尔函数

Question

我有一个简单的问题。我正在尝试使用Matlab R2012a评估0阶贝塞尔函数的不正确积分：

v = integral(@(x)(besselj(0, x), 0, Inf)

这给了我v = 3.7573e + 09。然而，理论上这应该是v = 1。当我想要做的时候

v = integral(@(l)besselj(0,l), 0, 1000)

结果为v = 1.0047。你能简单解释一下，整合出了什么问题？以及如何正确整合贝塞尔类型的函数？

Answer 1

起初，我怀疑在贝塞尔函数上取一个积分会产生有限的结果。然而，Mathematica / Wofram Alpha表明结果是有限的，但它是not for the faint of heart。

然而，我被指向this site，其中解释了如何正确地执行此操作，并且积分的值应为1.

我进行了一些实验以验证其陈述的正确性：

    F = @(z) arrayfun(@(y) quadgk(@(x)besselj(0,x), 0, y), z);

    z = 10:100:1e4;

    plot(z, F(z))

给出了：

如此清楚，积分确实似乎收敛于1.对Wolfram Alpha的羞耻！

（请注意，这是一种误导性的情节;尝试用z = 10:1e4;来做，你会明白为什么。但是，哦，好吧，原则是相同的）。

这个图也准确地显示了你在Matlab中遇到的问题;对于增加x，积分的值就像1左右的阻尼振荡一样。问题是，阻尼非常弱 - 正如你所看到的，我的z需要一直到10,000才能产生这个图，而振荡幅度只减少了〜0.5。

当你试图通过搞乱'MaxIntervalCount'设置来做不正确的积分时，你会得到这个：

    >> quadgk(@(x)besselj(0,x), 0, inf, 'maxintervalcount', 1e4) 

    Warning: Reached the limit on the maximum number of intervals in use.
    Approximate bound on error is 1.2e+009. The integral may not exist, or
    it may be difficult to approximate numerically.
    Increase MaxIntervalCount to 10396 to enable QUADGK to continue for 
    another iteration. 
    > In quadgk>vadapt at 317
      In quadgk at 216

设置MaxIntervalCount的高度并不重要;你会继续遇到这个错误。使用quad，quadl或类似内容（这些是R2012 integral函数的基础）时也会发生类似情况。

正如此警告和图表所示，积分不适合通过标准MATLAB中实现的任何正交方法精确近似（至少，我知道）。

我相信正确的分析推导，如在物理论坛上所做的那样，实际上是获得结果的唯一方法，而不必采用专门的求积法。

Answer 2

From the docs对振荡函数进行不正确的积分：

q = integral(fun,0,Inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-13)

文档中的

示例是

fun = @(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);

但我想在你的情况下试试：

q = integral(@(x)(besselj(0, x),0,Inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-13)